تبحث المسألة المعروفة بمسألة غطاء أم الدودة في إيجاد أصغر منطقة مستوية يمكن أن تغطي أي منحن طوله يساوي الواحد. إنه اسم غريب لهذه المسألة، لكن لو تخيلنا المنطقة كغطاء والمنحني كدودة مسترخية، نجد أن أمها تحتاج إلى ما سنسميه «الغطاء الشامل» الذي يمكن بوساطته تغطية الدودة الطفلة مهما كان الوضع الذي تأخذه. ومنذ عشرات السنين وضع الرياضياتي
يوجد حل واضح لهذه المسألة العامة وهو قرص دائري نصف قطره يساوي الواحد ومساحته الكلية أي 3.141 تقريبًا. فإذا وَضَعتْ الدودة الطفلة رأسها في مركز القرص فإن المسافة القصوى بين نهاية ذيلها ورأسها تساوي وحدة قياس واحدة. في عام 1973 قام العالمان
لشرح طريقة رينولدز، سأبدأ أولا باستخدامها في برهان أن نصف الدائرة التي قطرها يساوي الواحد والتي مساحتها 8/ أي 0.392 تقريبا هي غطاء شامل. لنفترض أنه لدينا وضع ما للدودة الطفلة، ارسم عندئذ خطا مستقيما يصل بين رأسها وذيلها (إذا كانت الدودة الطفلة ملتفة حول نفسها بشكل حلقة مغلقة، ارسم عندئذ أي خط مستقيم يقطع جسمها). بعد ذلك أوجدْ أصغر مستطيل يحوي الدودة الطفلة؛ حيث يجب أن يتوازى ضلعا المستطيل مع المستقيم الأول الذي رسمته [انظر الشكل أدناه]. لنُسَمِّ هذا المستطيل رقعة. إن العرض w للرقعة يقع بين الصفر والواحد. كما يمكن حساب الارتفاع من أجل أي w. ونعلم هنا أن أكبر ارتفاع من أجل أي رقعة هو وهو ما نحتاج إليه عندما تنام الدودة الطفلة بشكل مثلث متساوي الساقين.
يمكن إنشاء الرقع المستطيلة بحيث تغطي أي منحن (في الأعلى). وأطول رقعة نحتاج إليها عندما يشكل المنحني ضلعي مثلث متساوي الساقين (في اليسار). ويمكن للأسرة بكاملها من مثل هذه الرقع أن تُرتَّبَ لتملأ نصف دائرة (في الوسط). وعند قص الجزء الأعلى نتوصل إلى غطاء شامل أصغر (في اليمين).
وهكذا نكون قد حددنا مجموعة من الرقع (رقعة من أجل كل w) تشكل بمجموعها غطاء شاملا. وبغض النظر عن الكيفية التي تتكور فيها الدودة الطفلة، فإن رقعة واحدة على الأقل من هذه المجموعة ستغطيها. ويمكننا بذلك صنع غطاء شامل عن طريق لصق تلك الرقع بعضها ببعض. وقد سمّى رينولدز هذا الغطاء باللحاف المرقع للدودة الطفلة. وعلى الرغم من أن الغطاء أقرب إلى المزخرف منه إلى المرقع فإن وصل الرقع بعضها ببعض لا يتم بالضرورة عند الأطراف، إذ يمكن أن يتداخل بعضها في بعض، وكلما كان التداخل أكثر كان ذلك أفضل. ومهما كانت الكيفية التي يتم بها ترتيب الرقع فإنها تشكل بمجموعها الغطاء الشامل. ولكي نثبت ذلك، نتصور أن الدودة الطفلة قد تكوّرت بشكل ما، ويمكن بذلك إيجاد تلك الرقعة التي تغطيها؛ لأن اللحاف المرقع يحتوي حتما على تلك الرقعة المناسبة مع مساحة إضافية.
إن مهمتنا التالية هي تنضيد الرقع للحصول على أصغر لحاف ممكن. فإذا تم ترتيب الرقع بصورة متناظرة بحيث تكون قواعدها على استقامة واحدة، فإنها ستغطي نصف دائرة قطرها 1. وبذلك نكون قد وصلنا إلى برهان ما وعدنا به، وهو أن نصف الدائرة بالفعل غطاء شامل. لكن لا يوجد سبب خاص يجعلنا نختار هذا الترتيب، كما أنه ليس من الضروري أن تكون الرقع مستطيلات. كما أننا لا نحتاج عمليا إلى المجال من 0 إلى 1 من أجل كل عرض. وبملاحظة أن الرقعة تكون مربعة عندما ، نجد أن أي رقعة يكون ارتفاعها أكبر من يمكن تدويرها بمقدار 90 درجة ليصبح ارتفاعها أقل من . إن حذف هذه الرقع من نصف الدائرة الموشّاة بالرقع يسمح لنا بقص قطعة ضيقة من جزئها العلوي، الأمر الذي يقلل المساحة ويحافظ على الشمولية.
وباستخدام حجة معقدة نوعا ما تعتمد على تدوير الدودة الطفلة ذاتها استنتج رينولدز أنه يمكن حذف جميع الرقع التي يكون عرضها w أصغر من 1/2. فضلا عن ذلك فإن الارتفاع الأعظمي المطلوب للرقعة هو فقط في المنتصف. أما في الأمكنة الأخرى فيتم تعيين الارتفاع بجزء من قطع ناقص. إن دمج هذه التحسينات يقودنا إلى الغطاء الشامل المبين في الشكل التوضيحي (a). ويبدو للوهلة الأولى أننا استفدنا من هذه الطريقة الاستفادة القصوى الممكنة. ولكن يجب أن ندرك أننا نستطيع أن نقلب الغطاء رأسا على عقب. فإذا وصلت الدودة الطفلة إلى حدود القطع الناقص للرقعة، وليكن أن تصل إلى قمة الحرف على يمين المركز. وهكذا يمكن أن نقص جزءا من الحرف الأيمن العلوي لكل رقعة. وبلصق الرقع الناتجة نحصل على غطاء محدود بجزء من قطع ناقص بثلاث قطع مستقيمة.
لدى إنشاء هذه الرقع، نفترض أن رأس الدودة الطفلة وذيلها مثبتان بصورة ما في الأسفل. أما جزء القطع الناقص الواقع على الحدود فيأتي من رقعة واحدة فقط ـ تلك التي عرضها 1/2 [الموضح باللون الأزرق في الشكل (c)]. ويمكن أن نحرك أي دودة داخل تلك الرقعة إلى الطرف الأيمن للغطاء حيث يوجد قدر كبير من السعة الإضافية، وبعد التفكير بعدد من الأشكال المميزة للدودة، استطاع رينولدز أن يبين أن جزء القطع الناقص الواقع على الحرف، إضافة إلى الحرف الشاقولي الأيسر في غطائنا السابق، يمكن تبديلهما بمستقيمين. وتكون عندئذ المساحة الناتجة هي 0.239 تقريبا كما بيّنا سابقا.
يمكن إيجاد الأغطية الأصغر (a) من الرقع التي لها حد قطعي واحد (b). ويمكن أن نصل إلى تحسينات إضافية بالنظر إلى الكيفية التي يمكن أن نحرك فيها الدودة الطفلة تحت الغطاء (c). إن مساحة أصغر غطاء معروف حتى الآن هي (d)0.239.
عند دراسة أسئلة من هذا النوع ـ مسائل الإمثال optimization الهندسية ـ فمن المفيد أن نأخذ في اعتبارنا أنه ربما لا يكون هناك حل وحيد نهائي. حتى ولو وجدنا متتالية من الحلول بحيث يحسِّن كل حل الحل الذي يسبقه، فإن هذه المتتالية ربما لا تكون متقاربة. وقد قدم
إن الخيمة المخروطية ذات القاعدة الدائرية تفي بالغرض. وكلما كانت القاعدة أصغر كانت مساحة سطح الخيمة أصغر. في الحقيقة يمكن إيجاد خيم مناسبة مساحة كل منها أي عدد أكبر من الصفر. ولو كان بالإمكان تحسين هذه المتتالية لقادنا ذلك إلى أن أفضل حل هو خيمة مساحة قاعدتها صفر، وهذا غير معقول. لأن المخروط الذي مساحة قاعدته تساوي الصفر ليس سطحا وإنما قطعة مستقيمة وبالتالي لا يمكن أن تحتوي بداخلها على البعوضة الطفلة وفق أي مفهوم منطقي. وهكذا فإنه لا يوجد حل أمثل لخيمة البعوضة الأم ـ إذا تم الإصرار على أن تكون الخيمة سطحا.
وبالمثل، فليس واضحا ما إذا كان هناك حل أمثل محدد لغطاء الدودة الأم. إن هذا يعتمد إلى حد ما على أنواع الأغطية التي نأخذها. فعلى سبيل المثال، كل الديدان المضلعة التي طولها يساوي الواحد يمكن أن تغطى بغطاء مساحته تساوي الصفر. هناك كثير من هذه الأغطية، ولكنها في أغلبها ثقوب، وربما من الأفضل أن تسمى هذه المسألة شبكة الأنكليس الأم (نوع من السمك). وبالمقابل فقد برهن
حلا معرَّفا تماما، وهو حل ممتع، وربما يكون حل رينولدز هو الحل المنشود. لكن الرياضياتيين الهواة مازالوا يستطيعون التسلية في محاولة إيجاد حلول أفضل. فضلا عن ذلك فإن هناك الكثير من التنويعات لهذه المسألة، وجميعها تقريبا غير محلولة: ما الغطاء الشامل الذي له أصغر محيط؟ ماذا عن مسألة كيس النوم للثعبان، وهو كيس يحتوي بداخله على ثعبان طوله يساوي الواحد ويتلوى في فضاء ثلاثي الأبعاد كيفما يشاء؟ وماذا عن الديدان التي تعيش على سطح كرة؟
ردود القراء
كتب إلينا عدد من القراء للفت انتباهنا إلى خطأ «مفترض» في لعبة الشطرنج على رقعة الگو التي تحدثنا عنها في العدد 2 (1996) ، صفحة 62 من مجلة العلوم . لقد قدمت تلك المقالة لعبة تخمين وانتهت بطرح أحجية، يتحرك فيها الأبيض ويميت الأسود في نقلة واحدة. والإجابة التي أعطيناها كانت O11-j6، وذلك حسب الترميز الذي شرحناه في المقالة. كانت ملاحظة القراء هي أنه كان باستطاعة الأسود أن يتحرك m3-1y، ليصل إلى الوضع المبين بالصورة. ويقول هؤلاء القراء إن «النقلات التي تتركز عند k7 أو j7 أو j8 لا تسمح بهجوم قطري يقضي على الحلقة السوداء، وبذلك لا يموت الأسود.»
هذا صحيح، ولكن هناك نقلات أخرى غير التي يفترضها القراء. فالنقلة التي ترتكز إلى j7 قد تتحرك مكانا واحدا إلى أسفل فتصل إلى j6، متخلصة بذلك من البيدق الأسود عند k5 والبيدق الأبيض عند j5. وبالرغم من تضحيته ببيدق أبيض، فإن هذا اللاعب سيربح لأن هذه النقلة ستقضي على الحلقة السوداء.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
تعليم الرياضيات اليدويات.. ضرورة أم تسلية وترف:
تؤدي الرياضيات دورًا هامًا بين المواد الدراسية في التعليم وفي الحياة العملية فهي لغة العلوم، ويصعب أو يستحيل أحيانًا دون استخدام أدواتها مثل: المصطلحات والمعادلات والنماذج للتعبير عن كثير من المفاهيم العلمية وفي مجالات شتى، كما تعتبر الرياضيات في دول متقدمة - مثل بريطانيا والولايات المتحدة وروسيا واليابان - عاملًا مؤثرًا في التقدم والتنمية والإبداع، فهي مؤشر على توافر مقومات التقدم التقني.
السؤال هنا، لماذا كل هذا الاهتمام بالرياضيات؟ والجواب لما للرياضيات من وزن وأهمية بين المناهج المدرسية في كل البلاد تقريبًا أولًا، وثانيًا لأنها كانت وما زالت المادة المنهجية السباقة في التأثر والتأثير بما يستجد في ميدان العلم والتكنولوجيا, لذلك تسعى كثير من الدول وخاصة المتقدمة منها إلى تطوير طرق ووسائل تدريس الرياضيات إدراكًا منها لأهمية هذه المادة في تنمية المجتمع والدخول في عالم المنافسة العلمية وتطويع التقنية, فليس غريبًا أن تحظى مناهج الرياضيات بقدر كبير من الاهتمام بين شتى دول العالم، فنجد الحرص الدؤوب على تطويرها جنبًا إلى جنب مع تصاعد وتيرة الأبحاث والدراسات حول أنسب السبل والطرق لتعليمها، فبعد أن ركزت كتابات القرن الماضي بشكل أساسي على طريقتي الاستقراء Induction والاستنتاج Deduction, في تعليم الرياضيات، نجد أن الحديث قد بدأ في مطلع هذا القرن عن البنائية Constructivism، التي قادت إلى اكتشاف أساليب و أنماط جديدة لتعليم الرياضيات وتعلمها.
إن من المسلم به أن للرياضيات دورًا كبيرًا في حياتنا المعاصرة, وفي تطور جميع العلوم, فلو أخذنا مثالًا على أهمية فرع الهندسة في التطور العالمي لوجدنا أن كل التطور العمراني في العالم مبني أساسًا على أمور هندسية، وكل الطرق والمسارات الجوية وعمليات شق الأنفاق والكثير من العمليات العسكرية تقوم على تراكيب واستدلالات هندسية, من هذا وغيره يتضح أهمية وحتمية تدريس الرياضيات بجميع فروعها.
يقول جاردنر إن «العالم يحتاج إلى الرياضيات لأن التعامل مع الواقع الفج ثقيل وعسير... والرياضيات هي الأداة الرئيسية لإسباغ شيء من النظام على هذه الفوضى». لذا لابد من تطوير الرياضيات في التعليم العام لتواكب التطور الذي يعيشه العالم، فقد أصبحت الرياضيات لا غنى عنها لأي مشتغل في أي علم من العلوم.
ورغم أهمية هذا العلم وضرورة الاهتمام به إلا أن الكثير يتهمه بالجفاف والإغراق في الرموز والبعد عن الواقع. ولعل السبب في ذلك أنه أثناء تدريس هذا العلم لا تقدم تطبيقاته في الحياة, ولا يدرس بأسلوب يتيح لتلاميذنا الخبرات المباشرة المحسوسة. ولهذا جاءت الدعوات بضرورة الاهتمام بطرق تدريس الرياضيات, والحث على استخدام الوسائل التعليمية لأنها بمثابة الجسر الموصل بين المجرد والمحسوس.
ويمكن القول إن ما ظهر من اتجاهات حديثة في تعلم الرياضيات وخصوصًا في الدول المتقدمة يوجب علينا إعادة النظر في مناهجنا وطرق تدريسنا وتشخيصنا ومعالجتنا لتعلم الرياضيات في التعليم العام في المملكة العربية السعودية, وهذا يتطلب الإعداد والتخطيط الدقيق على ضوء معطيات الواقع وما نطمح لتحقيقه من خلال خطط وبرامج التعليم المستقبلية.
واليدويات من أهم الوسائل التعليمية التي تساعد في تحقيق هذا الهدف، فمن خلال اليدويات نستطيع أن نقدم للطلبة معظم ما يحتاجونه من خبرات مباشرة ومحسوسة تشكل عندهم اتجاهات إيجابية نحو ما يتعلمونه, ومن خلال هذا البحث سيتضح لنا فائدة مثل هذه اليدويات في تدريس مفهومات رياضية مختلفة.
اليدويات
وهي مجموعة من الوسائل التعليمية تستخدم لشرح الرياضيات، وتقوم على ممارسة الطالب للتطبيقات الرياضية بكلتا يديه بهدف تبسيط وتقريب استيعاب المفاهيم الرياضية, وهذا المشروع بدأ في الولايات المتحدة الأمريكية وقام بنقله إلى العربية مجموعة من الأساتذة المتخصصين في الرياضيات, وسمي مشروع إبداع, وهذا المشروع يحوي مجموعة من الوسائل التعليمية (اليدويات)، ويقوم على استخدام الطالب لهذه الوسائل والأدوات والعمل عليها وممارستها بيديه مع وجود نفس الوسيلة مع المعلم للقيام بعملية التوجيه والشرح، والهدف منه تبسيط النظريات والمفاهيم والمسائل والقواعد الرياضية وتقريبها إلى ذهن الطالب, مما يمكنه من تحقيق تحصيل أفضل في مادة الرياضيات, علمًا بأنه يمكن الآن الاستغناء عن الممارسة اليدوية باستخدام الإنترنت للتعامل مع هذه اليدويات, واليدويات التي يحويها المشروع توجد في حقائب، ويمكن تطبيق بعض هذه اليدويات واستخدامها في جميع المراحل التعليمية.
أهم اليدويات التي يتضمنها المشروع هي
- قطع كوزينير Cuisenaire Rods
- مكعبات دينز Base Ten Block
- المكعبات المتداخلة Linker Cubes
- القطع الهندسية Tangrams
- الميزان الحسابي Number Balance
- قطع النماذج Pettern Blocks
-اللوحة الهندسية Geoboard
-اللوحة الدائرية Geoboard Circular
-معمل الجبر Algebra Tiles
إلى غير ذلك من الاكتشافات التي تضاف دوريًا للمشروع مثل البرمجيات, والجدير بالذكر هنا أن المشروع يمكن التعامل معه عن طريق الإنترنت دون الحاجة للحصول على هذه المكونات, وهذا شرح مبسط لبعض من هذه المكونات:
- قطع كوزينيرCuisenaire Rods
قطع كوزينير تعرف بأنها مجموعة من القطع الصغيرة الملونة، عرض وارتفاع كل واحدة منها 1سم، وطول كل قطعة يساوي أحد الأعداد العشرة الأولى.
- مكعبات دينز Base Ten Block
هي يدوية تتكون من وحدات وأصابع ومربعات ومكعبات كما في الشكل، وتستخدم لتعليم عملية الجمع والطرح والضرب ودراسة النسب المئوية وغير ذلك.
- المكعبات المتداخلة Linker Cubes
هي مجموعة من المكعبات صنعت بأحجام متساوية وبعشرة ألوان وطول ضلع كل مكعب 2سم وعددها 100مكعب.
- معمل الجبر
وتعتمد على تصوير العملية الرياضية أو المشكلة بشكل لعبة
أو نموذج يتعامل معه باليدين للوصول إلى التجريد.
- قطع النماذج Pettern Blocks
هي عبارة عن ستة قطع هندسية محددة وهي:
سداسي منتظم, شبه منحرف متطابق الساقين, متوازي أضلاع, مثلث متطابق الأضلاع, مربع, معين.
ويمكن من خلال تركيبها بأشكال مختلفة دراسة العديد من المفاهيم الرياضية المجردة وجعلها محسوسة، وفي متناول التفكير مهما كان سن المتعلم.
وهذه القطع مصممة بطريقة خاصة حيث إن جميع أضلاع هذه القطع الست متطابقة ما عدا شبه المنحرف، حيث إن قاعدته الكبرى تساوي ضعف أضلاع باقي القطع.
وبنظرة سريعة لهذه القطع يتبين أن بين مساحاتها علاقة واضحة.
فإن القطع التالية تمثل:
ويتضح ذلك بالنظر إلى الأشكال التالية:
لكن السؤال الذي يطرح نفسه هو:
ما علاقة مساحة بقية الأشكال, بمساحات القطع الأخرى؟
مثال ذلك: ما علاقة مساحة المربع بمساحة المعين؟
والجواب هو يمكن معرفة هذه العلاقة هندسيًا، عندما نتأمل الشكل التالي:
يتبين لنا أن:
إذًا:أي أنً: مساحة المربع تساوي ضعف مساحة المعين (أو نقول مساحة المعين نصف مساحة المربع).
ومن الممكن معرفة زوايا المعين من خلال الرسم التالي:
حيث إن:زاوية المعين + زاوية المثلث = زاوية المربع القائمة.
زاوية المعين + 60 = 90
زاوية المعين = 30
وبالتالي فإن زاويته الأخرى = 150.
النظريات التي يعتمد عليها
التعلم باليدويات
- نظرية بياجية
تمثل نظرية بياجيه أحد أهم نظريات علم النفس الحديث, وأصبحت تشكل مدرسة علمية متميزة هي مدرسة علم النفس الإدراكي أو التكويني, وتوصف نظرية بياجيه بأنها انقلاب على أفكار المدرسة السلوكية المنتشرة في الولايات المتحدة الأمريكية والمسيطرة على علم النفس في تلك الحقبة, والتي تركز على متغيرات السلوك القابلة للملاحظة وهي المثير والاستجابة، وتقوم نظرياتها على دراسة العلاقة بينهما, ووسط هذا الازدهار لعلم النفس خرج بياجيه بنظريته وأفكاره المختلفة تمامًا عن النظريات والأفكار الشائعة, واستخدم مفاهيم ومنهجًا مختلفًا، ونادى بأفكار وآراء جديدة، وقد وضحت أبحاث بياجية مراحل نمو التفكير عند الفرد أو ما يسمى بالنمو العقلي.
وبياجيه يفسر النمو على أساس عمليتين هما: الاستيعاب التي تعني تكوين نموذج للأشياء في الذهن، والعملية الثانية هي التكيف التي تعني تعديل النموذج السابق ومواءمته وفقًا للخبرات الجديدة.
وبياجيه يبين أن الطفل لا يعرف مفهوم العدد قبل أن يلمس ويتعامل حسيًا مع الترتيب والتناظر الأحادي الذي يفسر بمثال عند وضع عدد من الكاسات في صف, ثم يطلب منه وضع كرات بعدد الكاسات نجد طفل الرابعة أو الخامسة يضع إزاءها عددًا من الكرات لا يساوي عدد الكاسات, ولكن يأخذ نفس طول صف الكاسات، ويضيف أنه يمكن للطالب إدراك الهندسة المستوية قبل إدراك الهندسة الإقليدية لسهولة استيعابها، أما بالنسبة للتشابه فيرى بياجيه أن الطفل في المرحلة الأولى من النمو لا يعني له شيئًا، ولكن في المرحلة الثانية فإن فكرة التشابه تبدأ في الظهور، فيستطيع التفريق بين المربع والمستطيل، وإذا طلب منه رسم مستطيل مشابه لآخر فإنه يرسمه ولكن مع مبالغة في طول الأضلاع، وفي المرحلة الثالثة فانه يلاحظ أن الطالب يأخذ في الحسبان عاملًا واحدًا عند دراسة التشابه، وفي المرحلة الرابعة يستطيع ترتيب العلاقات في أنظمة ثابتة، ويستطيع إدراك التشابه من عدة نواح.
- نظرية دينز في تعلم الرياضيات:
الرياضيات تعد في نظرية دينز دراسة للبنيات وتصنيفها وتوضيح العلاقات بينها وتنظيمها، ويرى أنه يمكن فهم المفاهيم والمبادئ الرياضية من خلال العديد من الأمثلة الحية والمحسوسة، ويعني المفهوم عند دينز البناء الرياضي، ويتم تعلمه في ست مراحل متعاقبة وهي:
- البحث عن الخواص المشتركة، فهنا لا يستطيع الطالب اكتشاف البنية الرياضية التي تشترك فيها كل مكونات المفهوم إلا بعد إلمامه بالخواص المشتركة للأمثلة المعطاة على ذلك المفهوم. ويقترح دينز أن يعطى الطالب أمثلة عديدة عن طريق توضيح أن كل مثال يمكن أن يترجم إلى مثال آخر دون تغيير الخواص المجردة التي تشترك فيها الأمثلة، مثل مثال إيجاد المسافة التي تقطعها السيارة يتغير إلى المسافة التي يقطعها القطار وهكذا.
- التمثيل وفيه يحتاج الطالب إلى مثال واحد للمفهوم يجمع كل الخصائص المشتركة التي تعلمها في المرحلة السابقة.
- الترميز وفيه يحتاج الطالب في هذه المرحلة إلى تكوين الرموز اللفظية والرياضية المناسبة لوصف ما فهمه من المفهوم، مثل وضع قانون نظرية فيثاغورس على شكل «س 2 + ص 2 = ع 2».
- التشكل وفيه يتعلم الطالب ترتيب خصائص المفهوم ومعرفة نتائجه ويقوم الطالب في هذه المرحلة بفحص نتائج المفهوم واستخدامها في حل المسائل الرياضية البحتة والتطبيقية.
ويؤكد دينز أهمية الألعاب في تعلم المفاهيم الرياضية، ويقسم الألعاب إلى ثلاثة أنواع وهي:
- الألعاب التمهيدية وهي التي يقوم بها الطالب من أجل المتعة دون توجيه من المعلم.
- الألعاب المنظمة وهي التي تستخدم المرحلة الوسطى من تعلم المفهوم, حيث يقوم الطلاب بفرز العناصر المكونة للمفهوم, وهي تصمم لخدمة أهداف تعليمية محددة، ويمكن أن يصممها المعلم بنفسه أو يستعين بالألعاب التعليمية المنتجة من قبل الشركات المتخصصة.
- الألعاب التدريبية وفيها يتدرب الطلاب على حل المسائل وفي مراجعة المفاهيم وتطبيقها.
- نظرية أوزوبل في التعلم اللفظي (أو نموذج أوزوبل التعلمي) الفكرة الرئيسة في نظريته هي مفهوم التعلم ذي المعنى، والذي يتحقق عندما ترتبط المعلومات الجديدة بوعي وإدراك من المتعلم بالمفاهيم والمعرفة الموجودة لديه قبلًا وذلك بناء على مبدأ أوزوبل الموحد للتعليم.
ففي هذا الإطار يعتقد أوزوبل أن إدراك المفاهيم والعلاقات المرتبطة بالمادة المتعلمة من قبل المتعلم والمتصلة ببنيته المعرفية من أكثر العوامل أهمية وتأثيرًا في عملية التعلم كما أنه يجعل التعلم ذا معنى.
وأوزوبل يفترض في نظرية التعلم اللفظي ذي المعنى أنه ينبغي أن يتم التعلم خلال عملية الاستقبال، فالمعلم يقدم المعلومة بصورة منظمة ومرتبة بتتابع وتناسق، ويفترض أن الطالب يتعلم عن طريق تنظيم المعلومات, وأن هذا التنظيم يجب أن يكون مترابطًا بشكل طبيعي، ولا يمكن تغيره بتغير الظروف, وأوزوبل يميز بين نوعين من التعلم هما:
- التعلم بالتلقي والتعلم بالاكتشاف.
- التعلم بالاستظهار والتعلم ذو المعنى.
- نظرية برونر
يرى برونر أن لكل فرد طاقة داخلية للتعلم، وأن علينا تجهيز وإثراء البيئة المحيطة بهذا المتعلم بكافة المواد والأشياء التي تعينه على استثمار هذه الطاقة الداخلية في تعلمه والذي يمكن أن يكون على شكل خبرات حسية مباشرة يتعر?'ض لها المتعلم خاصة في مراحل تعلمه الأولى. و يرك?'ز برونر على تفاعل المتعلم مع الأشياء الموجودة من حوله في عملية تعلمه, فهو بهذا يركز بشكل غير مباشر على الطريقة الاستكشافية للتعلم, وهي ما تعني أن يتوصل المتعلم بنفسه للمعارف والمعلومات التي يحتاجها بمساعدة وتوجيه المعلم, ولعل التعلم بهذه الطريقة – طريقة الاستكشاف - هي من أبرز الأفكار الموجودة لديه, خاصة أنه لا يركز على النتيجة المكتشفة, بل يهتم بشكل كبير بالعمليات العقلية والأفعال التي يقوم بها المتعلم والتي أد?'ت به إلى هذه النتيجة، وهذا ما يزيد الأمر روعة وجمالًا.
وقد نادى برونر بضرورة وجود نظرية في مجال التعليم تتكامل مع نظريات التعلم، وتعمل على رفع كفاءة العملية التعليمية كمًا وكيفًا من خلال تتبع الأسس والخطوات اللازمة لتقديم المادة التعليمية للمتعلمين بصورة مناسبة.
المبادئ الأساسية
لنظرية (برونر) التعليمية:
أولًا: الميل للتعليم: يرى برونر أن الموقف التعليمي يعد موقفًا استقصائيًا, يقوم فيه المتعلم بالبحث عن حلول لمشكلات يتضمنها ذلك الموقف, ومن ثم ينبغي تفاعل المتعلم مع عناصر الموقف المشكل مما يستوجب توافر قدر كاف من الميل لديه, ويتطلب ذلك أمرين:
- أن تؤدي التربية البيئية قبل المدرسة إلى غرس هذا الميل, ومما يساعد في ذلك النمط الثقافي للبيئية والدافعية الشخصية للطفل.
- أن يساعد المعلم على إثارة الميل لدى المتعلم من خلال المواقف التدريسية.
ثانيًا: بناء المعرفة: لكي تبنى المعرفة في ذهن المتعلم بطريقة صحيحة ينبغي أن تنظم المادة الدراسية بشكل يسمح للمتعلم بتمثلها, ومن ثم يتمكن من فهمها واستيعابها, ويتوافر للمعلم في رأي (برونر) ثلاثة سبل لتحقيق ذلك:
1- طريقة العرض: وهو الأسلوب الذي يتبعه المعلم في نقل المعرفة وتوصيلها إلى تلاميذه، ويميز (برونر) بين ثلاثة أساليب لعرض المعرفة وفق خصائص النمو العقلي للمتعلمين:
- الأسلوب العملي الواقعي: يناسب طفل ما قبل المدرسة, وتعرض فيه المعلومات عن طريق الأفعال والأشياء والنشاط الحسي.
- الأسلوب التصويري: يرى برونر أن الأطفال من سن الثالثة حتى الثامنة يستطيعون تكوين صور ذهنية للأشياء والأفعال, فيصبحون أكثر قدرة على التعلم بالصورة كبديل للخبرات المباشرة.
- الأسلوب الرمزي: ويتم العرض من خلال الكلمات أو الأرقام بدلا من استخدام الصور.
2- الاقتصاد في تقديم المعلومات، ويقصد برونر الاقتصاد في مقدار المعلومات التي ينبغي تعليمها، وذلك لأن التعليم من وجهة نظره اكتشافيًا يحدث من خلال حل المشكلات, الأمر الذي يتطلب من المعلمين مراعاة عامل الاقتصاد في عرضهم المادة التعليمية.
3- فعالية العرض: إن العرض الفعال هو الذي يبسط المعرفة العلمية أمام المتعلمين, فكلما كانت المادة مبسطة في عرضها كانت أكثر تأثيرًا في المتعلمين وأيسر استيعابًا.
ثالثًا: التسلسل في عرض الخبرات: تعد بنية المعرفة المحور الرئيسي الذي تدور حوله نظرية (برونر)، لذا فأنه يرى أن التسلسل في عرض المعلومات وإعادة عرضها للمتعلمين ينبغي أن تؤدي بهم إلى فهم بنية المادة الدراسية الأمر الذي يقودهم إلى التمكن من تحويل المعرفة إلى صورة جديدة, كما أن التسلسل في عرض الخبرات يكسب المتعلم القدرة على نقل المادة المتعلمة إلى مواقف جديدة.
رابعًا: التعزيــــــز: يتوقف التعلم الجيد من وجهة (برونر) على معرفة المتعلم نتائج نشاطه التعليمي, وما يقدم له من تعزيزات, وزمان ومكان تقديمها، وبصفة عامة فإن نظرية (برونر) قدمت لواضعي المناهج الدراسية والمعلمين خدمة جليلة حين قدمت تصورًا لكيفية تكون البنيات المعرفية لدى المتعلمين من خلال إدراكهم خصائص الأشياء, وأوجه الشبه والاختلاف بينها, ثم إدراك الأساس التصنيفي لها, وتبويبها, وترميزها فيما بعد.
- التعلم بالاكتشاف:
ويقوم هذا النوع من التعلم على إدراك العلاقات بين عناصر الموضوع الرياضي، والخروج بقوانين لمجموعة الأمثلة والحقائق التي يقدمها المدرس، فيتحدد بذلك دور المدرس في تقديم المعلومات اللازمة التي تمكن التلميذ من القيام بعملية اكتشاف القوانين والقواعد، وهو عملية تفكير تتطلب من الفرد إعادة تنظيم المعلومات المخزونة لديه وتكييفها بشكل يمكنه من رؤية علاقات جديدة لم تكن معروفة لديه من قبل.
وفي النهاية نجد اليدويات تحقق العديد من الأمور في التعليم من أهمها:
-تضع ما يُتعلم في مجال اهتمام الطالب.
- تتم عملية التعلم بطريقة مشوقة ومسلية.
- تترسخ المفاهيم الرياضية في ذهن الطالب بصورة قوية.
- تحقيق التوازن في شخصية التلميذ وتنمي الذاكرة والتفكير والإدراك.
- تعلم احترام القوانين والأنظمة وتغرس في نفوس الطلاب العمل التعاوني الجماعي.
- تعزيز الثقة بالنفس من خلال إشراك طلاب الصف في يدوية واحدة.
- إعطاء فرصة للطلاب للتعبير عن النفس والأفكار والخطط.
- تجعل من المدرسة مكانًا محببًا للطلاب.
وغير ذلك الكثير من الفوائد التي نجنيها من استخدام اليدويات في تعليم الرياضيات.
المراجع
- سحاب، سالم أحمد وآخرون, «دليل إبداع لتدريس الرياضيات باليدويات للصفين الخامس والسادس الابتدائيين», (1418هـ), دار البلاد للطباعة والنشر, جدة.
- الخليلي, خليل يوسف, عبداللطيف حسين حيدر, محمد جمال الدين يونس, تدريس العلوم في مراحل التعليم العام, دار القلم - 1996م، الإمارات.
- زيتون, عايش «أساليب تدريس العلوم». عم?'ان. دار الشروق. ط1. 1994م.
- الأمين، إسماعيل محمد الأمين محمد (1416هـ)، «نموذج مقترح لتطوير تدريس مادة الرياضيات بالصف الأول الإعدادي باستخدام أسلوب المنظم المتقدم», مجلة رسالة التربية, دائرة البحوث التربوية بالمديرية العامة للتنمية التربوية, وزارة التربية والتعليم, مسقط, سلطنة عمان, عدد ربيع الثاني 1416هـ.
- مرعي, توفيق أحمد, محمد محمود الحيلة, تفريد التعليم دار الفكر 1998م – الأردن.
- بل, فردريك, طرق تدريس الرياضيات, الجزء الثاني, ترجمة محمد أمين المفتي وممدوح سليمان, الدار العربية للنشر والتوزيع, القاهرة, 1986م. قطامي، يوسف, نايفة قطامي, ( 1998م ) «نماذج التدريس الصفي», عمان, دار الشروق.
- حمام، فادية (1423هـ) علم النفس التربوي في ضوء الإسلام، الرياض، دار الزهراء للنشر والتوزيع، ط1.
- موقع الدكتور عباس غندوره,
www.aghandoura.com .
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
كثيرا ما يسأل مدرس الرياضيات داخل الفصل لماذا ندرس الرياضيات وحرصا على وقت الحصة ما يؤجل الإجابة وارت أن اضعها بين ايديكم لنوضح الدرب وننير الطريق أمام أبنائنا
وربما تكون عون لنا في دفتر التحضير
1- إتاحة الفرصة للتلاميذ لممارسة طرق التفكير السليمة كالتفكير الاستقرائي والاستنباطي والتأملي .
2- إكساب التلاميذ مهارات في استخدام أسلوب حل المشكلات .
3- التأكيد على أهمية الرياضيات في حياتنا العامة ، بمساعدة التلميذ على التعرف على أثر الرياضيات في التطور الحضاري .
4- إكساب التلاميذ المهارات اللازمة لاستيعاب ما يدرسه والكشف عن علاقات جديدة .
5- مساعدة التلميذ على تكوين ميول واتجاهات سليمة نحو الرياضيات وعلى تذوقها .
6- مساعدة التلميذ على الاعتماد على نفسه في تحصيل الرياضيات .
7- تنمية بعض العادات السليمة مثل الدقة والنظام والتعاون والاحترام المتبادل والنقد البناء .
8- تنمية المهارات الذهنية والابتكارات العلمية .
9- التأكيد على أن الرياضيات هي أم العلوم .
10- إبراز دور وإسهامات العرب المسلمين في نشأة الرياضيات .
لاتنسونا من خالص دعائكم
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق