في الرياضيات ، الزمرة group هي مجموعة مزودة بعملية ثنائية و تحقق مجموعة من الشروط أو البدبهيات التي ستذكر لاحقا. مجموعة الأعداد الصحيحة تشكل زمرة بالنسبة لعمية الجمع و تعتبر مثالا للزمر . تدرس الزمر في فرع من الرياضيات يدعى نظرية الزمر.
نظرية الزمر نشأت على يد إيفاريست جالوا في عام 1830 ، و هي تهتم أساسا بمشكلة إيجاد متى يكون كثير حدود أو معادلة جبرية قابلا للحل soluble أي له حلولا أو جذور . قبل هذه النظرية كانت الزمر تدرس أساسا ضمن إطار دراسة طرق الترتيب Permutation .
تعريف
الزمرة Group أو المجموعة الوظيفية في الرياضيات هي عبارة عن مجموعة مزودة بعملية ثنائية يرمز لها بـ 1 بحيث يربط كل ثنائية مرتبة من عناصر عنصر من بحيث يحقق البديهيات Axioms التالية:
الإغلاق:
التجميع:
العنصر الحيادي (identity):
العنصر النظير أو المتمم (inverse):
ندعو الزمرة بالأبيلية (abelian group) نسبة للرياضي أبيل (Abel)، إن حققت الشرط الإضافي التالي:
5. التبديل:
في حال كانت المجموعة منتهية (عدد منتهٍ من العناصر) نقول إنّ الزمرة منتهية (finite group) ويكون ترتيب الزمرة (order) مساوياً لعدد عناصر المجموعة.
تدرس هذه الكائنات الرياضية في نطاق نظرية نطلق عليها اسم نظرية الزمر group theory .
في الرياضيات ، نصف الزمرة semigroup هي عبارة عن بنية جبرية مؤلفة من مجموعة مغلقة بالنسبة لعملية ثنائية تجميعية. بكلام آخر تكون نصف الزمرة ماعما تجميعية . اشتق مصطلح نصف الزمرة من المصطلح الأساسي الزمرة . غالبا ما تمثل العملية في نصف الزمرة برمز الجداء أي ، أو ببساطة xy وهي تعطي نتيجة تطبيق عملية نصف الزمرة الثنائية على الزوج المرتب : (x, y). هناك خلاف فيما إذا كانت المجموعة الخالية يمكن اعتبارها نصف زمرة أو لا .
بدأت دراسة أنصاف الزمر في أوائل القرن العشرين لكن أهميتها بدأت في منتصف الخمسينات حين أصبحت نظرية انصاف الزمر المنتهية ذات أهمية في المعلوماتية النظرية بسبب الارتباط الطبيعي بين أنصاف الزمر المنتهية وآلات الحالة المنتهية
نظرية الزمر Group Theory هو فرع الرياضيات الذي يهتم بدراسة أنواع الزمر Groups و خواصها . الزمرة تعني باللغة العربية جماعة مشتركة في صفة أو عدة صفات مختلفة ومنها أيضا سورة الزمر في القران الكريم اما معناها الرياضي فتهتم بالمجموعات العددية المختلفة مثل الاعداد الطبيعية والنسبية والكسرية ...الخ ولكي يمكننا القول بان مجموعة ما زمرة يجب تحقق عدة شروط.
ان مجموعة ما من تسمى زمرة، مع وجود عملية رياضياتية خاصة (.) تدعىhttp://mail.live.com/default.aspx?wa=wsignin1.0 "تكوين الزمرة" (Group Composition)، اذا تحقق ما ياتي:
الإغلاق (Closure): وهو ان نتيجة تطبيق العملية على عناصر من الزمرة تنتمي للزمرة نفسها.
التجميع (Associativity)
وجود عنصر محايد (Identity)
وجود عنصر عكسي متمم (inverse)
أما الشرط الخامس وهو الابدال و يتحقق اذا كان لكل . إن الزمرة التي تحقق الشروط الأربعة في الأعلى إضافة للخامس تدعى زمرة إبدالية (Commutative) أو زمرة أبيلية (Abelian).
وقد تساءل الرياضيون منذ القرن 19 عن إمكانية تصنيف الزمر البسيطة المنتهية. ولم يصل هؤلاء إلى الهدف المنشود إلا في مطلع الثمانينيات من القرن العشرين، حيث تطلب ذلك كتابة آلاف الصفحات. وظهرت في هذا التصنيف مجموعة من الزمر، سميت الزمر المتناثرة sporadic، ... ومنها زمرة سميت "الوحش" (وسموها آخرون الزمرة العملاقة) بسبب كبر رتبتها ، وهي :
71×59 ×47 ×41 ×31× 29× 23× 19 ×17 ×133× 112 ×76× 59 ×320 ×246
وهذا العدد يساوي
8080174247945128758864599049617107577005754368000000000
وقد عثر عليها عام 1982 الرياضي روبرت غريس Griess. ورغم ذلك توصف الزمرة بأنها بسيطة ومنتهية ! والملاحظ أن تصنيف الزمر المنتهية (بسيطة وغير بسيطة) جدّ معقدة. والرياضيون عازمون خلال الألفية الثالثة على إيجاد عدد الزمر التي لا تتجاوز رتبها 2000 ... وقد وجدوا منها الآن أزيد من 50 مليار زمرة !
تلك هي الأسباب التي جعلتنا في هذا الدرس نهتم بالزمر المنتهية أكثر من غيرها، لنقدم للقارئ معلومات قد يرجع إليها ذات يوم.
المتتاليات الدقيقة
دعنا نشير بعجالة إلى ما يسمى بالمتتاليات الدقيقة، رغم أنها ليست موضوع هذا الدرس، لعل القارئ يصادف مثل هذه المتتاليات لدى تناوله مواضيع جبرية... وقد فاتتنا فرصة الإشارة إليها في القسم الأول عند الحديث عن التماثلات.
تعريف
مثال
إذا كانت H زمرة جزئية منG فإن المتتالية
دقيقة علما أن H/G هي زمرة القسمة على H. لاحظ أن I تباين وأنP غامر.
الزمر ذات الرتب الصغيرة
الزمرة المجردة هي أية زمرة لا تميزها سوى خواصها المجردة (تجميع، عنصر حيادي، نظير). نذكر على سبيل المثال أن هناك زمرتين مجردتين فقط رتبتاهما 4 يمكن تعريفهما كالتالي :
1* نضع ونعرف العملية على G التي تجعل منها زمرة من خلال الجدول التالي :
نجد في الكتابات الأجنبية اسما لهذه الزمرة وهو Viergruppe (من الألمانية Vier التي تعني 4 و gruppe بمعنى زمرة).
2* الزمرة الدوارة . نضع ونعرف العملية على G التي تجعل منه زمرة من خلال الرسم التالي حيث 1 هو العنصر الحيادي :
يمكن أيضا الإشارة إلى الزمرة المؤلفة من ثمانية عناصر المسماة الزمرة الرباعية The quaternion group، وهي واحدة من الزمرتين غير التبديليتين من بين الزمر الخمس ذات الرتبة 5.
إليك جدولا يبيّن عدد الزمر التبديلية وغير التبديلية وكذا عددها الإجمالي (حسب رتبها) من إلى . تجد في هذا الدرس الجدول الذي يبيّن عدد الزمر التبديلية وعددها الإجمالي، حسب رتبها، من 1 إلى400 :
رتبة زمرة
عدد الزمر التبديلية
عدد الزمر غير التبديلية
العدد الإجمالي للزمر
1 1 0 1
2 1 0 1
3 1 0 1
4 2 0 2
5 1 0 1
6 1 1 2
7 1 0 1
8 3 2 5
9 2 0 2
10 1 0 1
12 2 3 5
13 1 0 1
14 1 1 2
15 1 0 1
16 5 9 14
17 1 0 1
18 2 3 5
19 1 0 1
20 2 3 5
21 1 1 2
22 1 1 2
23 1 0 1
24 3 12 15
25 2 0 2
26 1 1 2
27 3 2 5
28 2 2 4
29 1 0 1
30 1 3 4
31 1 0 1
تمرين 1
ليكن H جزءا منتهيا من زمرة (.,G). نفرض أن مستقر بالنسبة لقانون الزمرة.
1) أثبت أن العنصر الحيادي 1 ينتمي إلىH .
2) أثبت أن H زمرة جزئية منG .
3) أوجد مثالا مضادا يبيّن أن قد لا يكون زمرة جزئية لو كان غير منته.
الحل 1
تمرين 2
لتكن(.,G) زمرة دوارة من الرتبة n، مولّدة عن .
1) لنفرض أن عنصر مولد لـ G . تأكد من أن يكتب على الشكل حيث أولي مع n.
2) كيف تكتب العناصر المولدة في حالة n =12 ؟
3) أدرس الحالة التي يكون فيهاn أوليا.
4) يسمى العدد الممثل لعدد العناصر المولدة لزمرة دوارة من الرتبة n مؤشر أولر Euler. احسب عندما يكون p أوليا.
الحل 2
زمر سيلو
تقول نظرية لاغرانج Lagrange أن رتبة عنصر في زمرة منتهية تقسم رتبة الزمرة. يمكن أن نصيغ نظرية لاغرانج أيضا كما يلي : إذا كانت m رتبة زمرة جزئية (من زمرة G معطاة رتبتها n ) مولدة عن عنصر فإن m يقسم n.
كيف نـثبت ذلك؟ لتكن H زمرة جزئية رتبتها m من زمرة رتبتهاn . ماذا يمكن القول حول مجموعة العناصر المعرفة بـ من أجل العناصر المنتمية إلى G ؟ إذا رمزنا بـ A للمجموعة فإننا نلاحظ بأنها تتشكل من أصناف تكافؤ وأن عدد عناصر كل صنف تكافؤ يساوي m لأن التطبيق
تقابل (تأكد من ذلك). وكذلك الأمر بالنسبة للتطبيق
ثم إن العناصر تشكل تجزئة لـ G. أكمل البرهان.
هناك من ينص على نظرية لاغرانج على النحو التالي : لتكن G زمرة منتهية وH زمرة جزئية منها. إن رتبة H تقسم رتبة G.
تمرين 3
لتكن (.,G) زمرة منتهية رتبتهاn وa عنصرا كيفيا منها، نرمز لعنصرها الحيادي بـ 1. أثبت أن .
الحل 3
نظرية كوشي
تعريف (زمر سيلو)
النظرية الأولى لسيلو
ملاحظة
لاحظ أن هذه النظرية تؤدي إلى نظرية كوشي. لنوضح ذلك :
ليكن عددا أوليا يقسم الرتبة n لزمرة منتهية G. إذن يوجد عددان طبيعيان m و يحققان العلاقة مع القيد p لا يقسم m (ذلك أنه إذا حدث العكس فما علينا سوى تغيير الأس ). ومن ثم تتحقق شروط نظرية سيلو. إذنG تملك زمرة p- سيلوية، أي زمرة رتبتها من الشكل
لكنp عدد أولي يقسم تلك الرتبة. وحسب نظرية لاغرانج فإنه توجد زمرة جزئية H رتبتها القاسم p. ومن ثم يوجد عنصر a منH رتبته p. لماذا؟ نعتبر عنصرا a منH يختلف عن العنصر الحيادي. ما هي رتبته؟ هل يمكن أن تكون أصغر تماما من p ؟ لا ! لأن p أولي ومنH يختلف عن العنصر الحيادي. هل يمكن أن تكون رتبة a أكبر تماما منp ؟ لا ! لأنه لا يمكن أن تتجاوز رتبة H.
تعريف
تمرين 4
إذا كانت زمرتان جزئيتان من زمرة (.,G) مترافقتين فإنهما متقابلان.
(ومن ثم فلهما نفس الرتبة في الحالة التي تكون فيها الزمرة (.,G) منتهية.
الحل 4
النظرية الثانية لسيلو
تمرين 5
أثبت أن زمرة جزئية p H - سيلوية من زمرة G تكون مميزة إذا وفقط إن كانت H الزمرة الـ p - سيلوية الوحيدة.
الحل 5
النظرية الثالثة لسيلو
تطبيق
يمكن استخدام نظريات سيلو لإثبات أن كل زمرة رتبتها تساوي 63 لا يمكن أن تكون بسيطة. لنر ذلك :
نذكر أننا نقول عن زمرة إنها بسيطة إن كانت الزمر الجزئية المميزة الوحيدة هي الزمرة نفسها وزمرة العنصر الحيادي. نعتبر فيما سبق p=7. كم يبلغ عدد الزمر الجزئية 7-سيلوية؟ إنه عدد يقسم ويكتب على الشكل . العدد الوحيد الذي يحقق ذلك هو . إذ هناك زمرة 7- سيلوية واحدة. وحسب التمرين السابق فهذا يستلزم أن هذه الزمرة مميزة. ومن ثم فالزمرة التي رتبتها 63 ليست بسيطة.
تمرين 6
لتكن G زمرة منتهية رتبتهاn وكان n يحقق العلاقة حيث p عدد أولي لا يقسم m. وليكن عدد الزمر الـ p- سيلوية.
أثبت أن أولي مع p .
مسائل بورنسايد
كان الرياضي الإيرلندي وليم سنو بورنسايد
(1852-1927)
أستاذا بالكلية البحرية في
Burnside غرينويتش Greenwich. كما شغل منصب نيابة رئاسة الجمعية الرياضياتية اللندنية. وقد قدم إسهاما معتبرا في نظرية الزمر المنتهية. لنشر إلى بعض آثاره :
مسألة بورنسايد
نذكر قبل ذلك بالتعريفين التاليين الواردين في القسم الأول :
تعريف
ملاحظة
يحدث في زمرة (.,G) أن تكون بعض عناصرها منتهية الرتبة وبعضها الآخر غير منتهي الرتبة. نقول عن هذه الزمرة إنها مختلطة.
في عام 1902 أدخل بورنسايد مفهوما جديدا سماه "النقطة غير المعينة" في نظرية الزمر. كما طرح مسألة سميت "مسألة بورنسايد" تقول : هل كل زمرة منتهية الأس ومولدة بجملة منتهية زمرة منتهية؟ وقد أجاب عن هذا السؤال "بنعم" بورنسايد ذاته من أجل أس يساوي 2 أو 3. كما كان الجواب بنعم من أجل الأسين 4 و 6.
مسألة بورنسايد المقتصرة : ليكن وn عددين طبيعيين. هل يوجد عدد منته من الزمر المنتهية رتبتها وأسها n ؟
لقد حلت هذه المسألة وكان الجواب عنها بنعم عام 1989، ونال صاحب الإجابة إفيم زلمانوف Zelmanov ميدالية فيلدز عام 1994. ولازال هذا النمط من المسائل يحظى باهتمام الباحثين إلى اليوم.
مخمنة بورنسايد : تقول مخمنة بورنسايد التي أدلى بها عام 1902: كل زمرة بسيطة ومنتهية وتبديلية زمرة رتبتها عدد زوجي. وقد أثبت هذه المخمنة بعد ستين سنة من قبل الأمريكي فايت Feit عام 1963 والإنكليزي تومسون Thomson. ومن المعلوم أن البرهان على هذه النتيجة كان من أطول البراهين (إن لم تكن أطولها) حيث جاءت في أزيد من 300 صفحة.
أما الرياضي الروسي بيتر
(1901-1975)
فأجاب بالنفي على هذا السؤال عام 1968
نوفيكوف Novikov
عندما يكون الأس فرديا أكبر من 4381.
نلاحظ أن بيتر نوفيكوف هو والد سرجي نوفيكوف الذي فاز بميدالية فيلدز عام 1970.
هناك منحنى يحمل اسم بورنسايد، معادلته من الشكل ، ورسمه مبيّن أدناه :
تصنيف الزمر المنتهية والبسيطة
لقد تم تصنيف الزمر المنتهية والبسيطة عام 1982 من قبل جون هورتن كونوي Conway و دنيال غورنشتين Gorenstein باستخدام الحواسيب، وهذا بعد مرور أزيد من قرن عن اكتشاف أول زمرة "متناثرة" (ترجمة لمصطلح sporadic الذي أتى به بورنسايد). وقد صنف الرياضيون الزمر المنتهية البسيطة إلى 4 أصناف :
1) الزمرة الدوارة التي لها رتب أولية.
2) صنف من الزمر تسمى زمر شوفاليي Chevalley. وهي مجموعة غير منتهية وعدودية من الزمر.
3) صنف الزمر المسماة الزمر المتناوبة : إن كان n عددا طبيعيا فإن الزمرة المتناوبة (التي يرمز إليها عموما بـ ) هي الزمرة الجزئية من المؤلفة من التبديلات الزوجية. نذكّر أننا نقول عن تبديلة من إنها زوجية إن كان توقيعها المعرف بـ
يساوي 1 . تستخدم هذه الزمر في البحث عن الأمثلة المضادة في النظرية الزمر.
4) 26 زمرة ... تسمى الزمر المتناثرة.
إليك الجدول التالي الذي يوضّح رتبة كل زمرة من الزمر المتناثرة، وكذا تفكيكات رتبها إلى عوامل أولية :
تفكيك الرتبة إلي عوامل أولية
الرتبة
رقم الزمرة
24-32-5-11 7920 1
26-33-5-11 95040 2
23-3-5-7-11-19 175560 3
27-32-5-7-11 443520 4
27-33-52-7 604800 5
27-32-7-5-11-23 10200960 6
29-32-53-7-11 44352000 7
27-35-5-17-19 50232960 8
210-33-5-7-11-23 244823040 9
27-36-53-7-11 898128000 10
210-33-52-73-17 4030387200 11
214-33-53-7-11-13-29 145926144000 12
213--37-52-7-11-13 448345497600 13
29-34-5-73-11-19-31 460815505920 14
210-37-53-7-11-23 495766656000 15
218-36-53-7-11-23 42305421312000 16
217-39-52-7-11-13 64561751654400 17
214-36-56-7-11-19 273030912000000 18
28-37-56-7-11-31-37-67 51765179004000000 19
215-310-53-72-13-19-31 90745943887872000 20
218-313-52-7-11-13-17-23 4089470473293004800 21
221-39-54-72-11-13-23 4157776806543360000 22
221-33-5-7-113-23-29-31-37-43 86775571046077562880 23
221-316-52-73-11-13-17-23-29 1255205709190661721292800 24
241-313-56-72-11-13-17-19-23-31-47 4154781481226426191177580544000000 25
رتبة الزمرة المسماة "الوحش" أو "الزمرة العملاقة :
808017424794512875886459904961710757005754368000000000
تفكيك رتبة الزمرة العملاقة إلى عوامل أولية :
71-59-47-41-31-29-23-19-17-133-112-76-59-320-246
26
لمراجع:
التصنيفان: جبر تجريدي | بنى جبرية
ISBN:978-981-270-809-0; World Scientific 2007; Willi-Hans Steeb; Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations And Computer Algebra
Group Theory, W. R. Scott, Dover Publications, ISBN 0-486-65377-3
Groups, C. R. Jordan and D. A. Jordan, Newnes (Elsevier), ISBN 0-340-61045-X
الاشتراك في:
تعليقات الرسالة (Atom)
شكرا جزيلا
ردحذفالزمر الجزئية
ردحذفشكرا لكم
ردحذفشكراً لكم
ردحذف