مفهوم الزمره

الاثنين، 28 ديسمبر 2009

""معلومات عن موسسي علم الرياضيات وقوانينه ""

أول من وضع علم الجبر واستعمل لفظ الجبر ووضع أصوله و قوانينه هو الخوارزمي أبو ‏عبد الله محمد ولد عام 232 هـ وكتابه في الجبر بعنوان (المختصر في حساب الجبر ‏والمقابلة).

اول من أضاف العدد صفر إلى مجموعة الأعداد 1 ,2 , 3, ..... لتكون الأعداد الطبيعية ‏هو الخوارزمي.

أول من توصل لحساب طول السنة الشمسية هو ابو الحسن ثابت بن قرة ولدعام 836 م ‏في حران وهو وثني من عبدة النجوم حدد السنة الشمسية ب 360 يوما و 6 ساعات و 9 ‏دقائق و 10 ثواني.

أول من اخترع النسب المثلثية هو أبو جابر البتاني محمد بن سنان الحراني ولد ببتان ‏‏850 م.

أول من أدخل علامة الكسر العشري هو جمشيد بن محمود بن مسعود الملقب بغياث الدين ‏ولد بمدينة كاشان ولذلك يعرف بالكاشي.

أول من بيّن طريقة إيجاد الجذر التكعيبي هو أبو الحسن علي بن أحمد النسوي.

أول من وضع نظرية الزمر هو الفرنسي إيفاريست غالوا ( 1811 – 1832 م )

أول من اخترع الآلة الحاسبة هو الفرنسي بليز باسكال عام 1642 م لإجراء عمليات ‏الضرب والقسمة بواسطة عجلات تحمل الأرقام 1 -.

أوّل من حوّل الكسور العاديّة إلى كسور عشريّة في علم الحساب هو غياث الدين جمشيد ‏الكاشي قبل عام 840 هجرية/1436 م.

أوّل من استعمل الأسس السالبة هو العالم المسلم السموأل المغربي ، وهو عالم اشتهر ‏باختصاصه في علم الحساب ، أوّل من استعمل الأسس السالبة في الرياضيات ، وتوفي هذا ‏العالم الفذّ في بغداد عام 1175م .

أوّل من استخدم الجذر التربيعي هو العالم المسلم الرياضي محمد بن موسى الخوارزمي، ‏وأوّل من استعمله للأغراض الحسابية هو العالم أبو الحسن علي بن محمد القلصادي ‏الأندلسي الذي ولد عام 825 هجرية وتوفي سنة 891 هجرية وانتشر هذا الرمز في ‏مختلف لغات العالم.

أوّل من وضع أسس علم الجبر هو العالم المسلم أبو الحسن محمد بن موسى الخوارزمي ، ‏ولد هذا العبقري الفذّ في بلدة خوارزم بإقليم تركستان في العام 164 هجرية، برع في علم ‏الحساب ووضع فيه كتاباً له أسماه (الجبر والمقابلة) شرح فيه قواعد وأسس هذا العلم ‏العام ،تحرف اسمه عند الأوروبيين فأطلقوا عليه (‏ALGEBRA‏) أي علم الحساب ، ‏وتوفي –رحمه الله –عام 235 هجرية.

أوّل من أسس علم حساب المثلثات هم الفراعنة القدماء عرفوا حساب المثلثات وساعدهم ‏ذلك على بناء الأهرامات الثلاثة،وظل علم حساب المثلثات نوعاً من أنواع الهندسة ،حتى ‏جاء العرب المسلمون وطوروه ووضعوا الأسس الحديثة له لجعله علماً مستقلاً بذاته ‏،وكان من أوائل المؤسسين لحساب المثلثات ،أبو عبد الله البتاني والزرقلي ونصير الدين ‏الطوسي.

أوّل من استعمل الرموز أو المجاهيل في علم الرياضيات هم العرب المسلمون ، فاستعملوا ‏‏(س) للمجهول الأول ، و (ص) للثاني و (ج) للمعادلات للجذر .. وهكذا.

أوّل رسالة عن علم الرياضيات طبعت في أوروبا كانت مأخوذة من جداول العالم المسلم ‏أبي عبد الله البتاني ،وقد طبعت هذه الرسالة الأولى عام 1493م في اليونان.

أوّل من أدخل الأرقام الهندية إلى العربية هو أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي عالم ‏الرياضيات والأرقام التي نستعملها اليوم في كتابة الأعداد العربية 1،2،3،4،5،… الخ هي ‏أرقام دخيلة استعملها الهنود من قبل العرب بقرون طويلة.

أوّل معداد يدوي اخترعه الصينيون واستعانوا به على إجراء العمليات الحسابية وذلك في ‏العام 1000 قبل الميلاد وسموه ( الأبوكس ).

أوّل حاسوب إلكتروني يعمل بالكهرباء تم اختراعه في عام 1946م بالولايات المتحدة ‏الأمريكية ، وأطلق عليه اسم (إنياك:‏Eniac‏ ) ، وهو من حواسيب الجيل الأوّل التي تعمل ‏بالصمامات المفرغة وتستهلك قدراً كبيراً من الكهرباء ، وهي تشمل مساحة كبيرة.

أول من اكتشف الدائرة منذ عام 500 ق.م هم المصريون القدماء.

أول من توصل لقانون حساب مساحة الدائرة = ط نق2 هو العالم المصري أحمس.

أول من ابتدع النظام العشري في العد هم المصريون القدماء.

أول من أعطي قيمة صحيحة للنسبة التقريبية هو غياث الدين الكاشي.

((معلومات هامه عن الرياضيات))

((التسليه مع الرياضيات واهميتها في التخصصات العلميه ))

غطاء أم الدودة

تبحث المسألة المعروفة بمسألة غطاء أم الدودة في إيجاد أصغر منطقة مستوية يمكن أن تغطي أي منحن طوله يساوي الواحد. إنه اسم غريب لهذه المسألة، لكن لو تخيلنا المنطقة كغطاء والمنحني كدودة مسترخية، نجد أن أمها تحتاج إلى ما سنسميه «الغطاء الشامل» الذي يمكن بوساطته تغطية الدودة الطفلة مهما كان الوضع الذي تأخذه. ومنذ عشرات السنين وضع الرياضياتي (من جامعة ألبرتا في كندا) سؤالا محيرا لم يُحل حتى الآن هو: ما شكل الغطاء الشامل الذي له أصغر مساحة؟

يوجد حل واضح لهذه المسألة العامة وهو قرص دائري نصف قطره يساوي الواحد ومساحته الكلية أي 3.141 تقريبًا. فإذا وَضَعتْ الدودة الطفلة رأسها في مركز القرص فإن المسافة القصوى بين نهاية ذيلها ورأسها تساوي وحدة قياس واحدة. في عام 1973 قام العالمان و (من جامعة إمبوريا) بوصف غطاء شامل خماسي الشكل مساحته 0.286 وحدة مربعة. ولم يستطع أحد حتى أمد قريب إيجاد أي شكل أصغر. ولكن منذ عدة أشهر أرسل لي (من هيئة أنظمة الاعتماد (CSC) في بي?رتون بولاية أوريگون) برهانا على وجود غطاء شامل بشكل رباعي مساحته أو 0.239 تقريبا. وتبدو نتيجة رينولدز في هذا الحقل من الرياضيات مثيرة؛ إذ إن إجراء بعض التعديل على طريقته ربما يؤدي إلى أغطية أقل مساحة. وإن ردود القراء لتحسين هذه النتيجة سينظر إليها باهتمام، ولكننا نرجو أن يتم إرسال البرهان أو الإيضاح التجريبي لكون الشكل المقترح غطاء شاملا.

لشرح طريقة رينولدز، سأبدأ أولا باستخدامها في برهان أن نصف الدائرة التي قطرها يساوي الواحد والتي مساحتها 8/ أي 0.392 تقريبا هي غطاء شامل. لنفترض أنه لدينا وضع ما للدودة الطفلة، ارسم عندئذ خطا مستقيما يصل بين رأسها وذيلها (إذا كانت الدودة الطفلة ملتفة حول نفسها بشكل حلقة مغلقة، ارسم عندئذ أي خط مستقيم يقطع جسمها). بعد ذلك أوجدْ أصغر مستطيل يحوي الدودة الطفلة؛ حيث يجب أن يتوازى ضلعا المستطيل مع المستقيم الأول الذي رسمته [انظر الشكل أدناه]. لنُسَمِّ هذا المستطيل رقعة. إن العرض w للرقعة يقع بين الصفر والواحد. كما يمكن حساب الارتفاع من أجل أي w. ونعلم هنا أن أكبر ارتفاع من أجل أي رقعة هو وهو ما نحتاج إليه عندما تنام الدودة الطفلة بشكل مثلث متساوي الساقين.

يمكن إنشاء الرقع المستطيلة بحيث تغطي أي منحن (في الأعلى). وأطول رقعة نحتاج إليها عندما يشكل المنحني ضلعي مثلث متساوي الساقين (في اليسار). ويمكن للأسرة بكاملها من مثل هذه الرقع أن تُرتَّبَ لتملأ نصف دائرة (في الوسط). وعند قص الجزء الأعلى نتوصل إلى غطاء شامل أصغر (في اليمين).

وهكذا نكون قد حددنا مجموعة من الرقع (رقعة من أجل كل w) تشكل بمجموعها غطاء شاملا. وبغض النظر عن الكيفية التي تتكور فيها الدودة الطفلة، فإن رقعة واحدة على الأقل من هذه المجموعة ستغطيها. ويمكننا بذلك صنع غطاء شامل عن طريق لصق تلك الرقع بعضها ببعض. وقد سمّى رينولدز هذا الغطاء باللحاف المرقع للدودة الطفلة. وعلى الرغم من أن الغطاء أقرب إلى المزخرف منه إلى المرقع فإن وصل الرقع بعضها ببعض لا يتم بالضرورة عند الأطراف، إذ يمكن أن يتداخل بعضها في بعض، وكلما كان التداخل أكثر كان ذلك أفضل. ومهما كانت الكيفية التي يتم بها ترتيب الرقع فإنها تشكل بمجموعها الغطاء الشامل. ولكي نثبت ذلك، نتصور أن الدودة الطفلة قد تكوّرت بشكل ما، ويمكن بذلك إيجاد تلك الرقعة التي تغطيها؛ لأن اللحاف المرقع يحتوي حتما على تلك الرقعة المناسبة مع مساحة إضافية.

إن مهمتنا التالية هي تنضيد الرقع للحصول على أصغر لحاف ممكن. فإذا تم ترتيب الرقع بصورة متناظرة بحيث تكون قواعدها على استقامة واحدة، فإنها ستغطي نصف دائرة قطرها 1. وبذلك نكون قد وصلنا إلى برهان ما وعدنا به، وهو أن نصف الدائرة بالفعل غطاء شامل. لكن لا يوجد سبب خاص يجعلنا نختار هذا الترتيب، كما أنه ليس من الضروري أن تكون الرقع مستطيلات. كما أننا لا نحتاج عمليا إلى المجال من 0 إلى 1 من أجل كل عرض. وبملاحظة أن الرقعة تكون مربعة عندما ، نجد أن أي رقعة يكون ارتفاعها أكبر من يمكن تدويرها بمقدار 90 درجة ليصبح ارتفاعها أقل من . إن حذف هذه الرقع من نصف الدائرة الموشّاة بالرقع يسمح لنا بقص قطعة ضيقة من جزئها العلوي، الأمر الذي يقلل المساحة ويحافظ على الشمولية.

وباستخدام حجة معقدة نوعا ما تعتمد على تدوير الدودة الطفلة ذاتها استنتج رينولدز أنه يمكن حذف جميع الرقع التي يكون عرضها w أصغر من 1/2. فضلا عن ذلك فإن الارتفاع الأعظمي المطلوب للرقعة هو فقط في المنتصف. أما في الأمكنة الأخرى فيتم تعيين الارتفاع بجزء من قطع ناقص. إن دمج هذه التحسينات يقودنا إلى الغطاء الشامل المبين في الشكل التوضيحي (a). ويبدو للوهلة الأولى أننا استفدنا من هذه الطريقة الاستفادة القصوى الممكنة. ولكن يجب أن ندرك أننا نستطيع أن نقلب الغطاء رأسا على عقب. فإذا وصلت الدودة الطفلة إلى حدود القطع الناقص للرقعة، وليكن أن تصل إلى قمة الحرف على يمين المركز. وهكذا يمكن أن نقص جزءا من الحرف الأيمن العلوي لكل رقعة. وبلصق الرقع الناتجة نحصل على غطاء محدود بجزء من قطع ناقص بثلاث قطع مستقيمة.

لدى إنشاء هذه الرقع، نفترض أن رأس الدودة الطفلة وذيلها مثبتان بصورة ما في الأسفل. أما جزء القطع الناقص الواقع على الحدود فيأتي من رقعة واحدة فقط ـ تلك التي عرضها 1/2 [الموضح باللون الأزرق في الشكل (c)]. ويمكن أن نحرك أي دودة داخل تلك الرقعة إلى الطرف الأيمن للغطاء حيث يوجد قدر كبير من السعة الإضافية، وبعد التفكير بعدد من الأشكال المميزة للدودة، استطاع رينولدز أن يبين أن جزء القطع الناقص الواقع على الحرف، إضافة إلى الحرف الشاقولي الأيسر في غطائنا السابق، يمكن تبديلهما بمستقيمين. وتكون عندئذ المساحة الناتجة هي 0.239 تقريبا كما بيّنا سابقا.

يمكن إيجاد الأغطية الأصغر (a) من الرقع التي لها حد قطعي واحد (b). ويمكن أن نصل إلى تحسينات إضافية بالنظر إلى الكيفية التي يمكن أن نحرك فيها الدودة الطفلة تحت الغطاء (c). إن مساحة أصغر غطاء معروف حتى الآن هي (d)0.239.

عند دراسة أسئلة من هذا النوع ـ مسائل الإمثال optimization الهندسية ـ فمن المفيد أن نأخذ في اعتبارنا أنه ربما لا يكون هناك حل وحيد نهائي. حتى ولو وجدنا متتالية من الحلول بحيث يحسِّن كل حل الحل الذي يسبقه، فإن هذه المتتالية ربما لا تكون متقاربة. وقد قدم و مثالا جيدا على ما أعنيه في كتابهما التقليدي ما هي الرياضيات؟ إنها مسألة «خيمة البعوضة الأم» حيث تنام البعوضة الطفلة مرفرفة فوق سطح الأرض بقدم واحدة. وتقوم البعوضة الأم بتغطية طفلتها بغطاء على شكل خيمة تلامس الأرض من جميع جوانبها. ما الخيمة التي تكون مساحة سطحها أصغرية؟

إن الخيمة المخروطية ذات القاعدة الدائرية تفي بالغرض. وكلما كانت القاعدة أصغر كانت مساحة سطح الخيمة أصغر. في الحقيقة يمكن إيجاد خيم مناسبة مساحة كل منها أي عدد أكبر من الصفر. ولو كان بالإمكان تحسين هذه المتتالية لقادنا ذلك إلى أن أفضل حل هو خيمة مساحة قاعدتها صفر، وهذا غير معقول. لأن المخروط الذي مساحة قاعدته تساوي الصفر ليس سطحا وإنما قطعة مستقيمة وبالتالي لا يمكن أن تحتوي بداخلها على البعوضة الطفلة وفق أي مفهوم منطقي. وهكذا فإنه لا يوجد حل أمثل لخيمة البعوضة الأم ـ إذا تم الإصرار على أن تكون الخيمة سطحا.

وبالمثل، فليس واضحا ما إذا كان هناك حل أمثل محدد لغطاء الدودة الأم. إن هذا يعتمد إلى حد ما على أنواع الأغطية التي نأخذها. فعلى سبيل المثال، كل الديدان المضلعة التي طولها يساوي الواحد يمكن أن تغطى بغطاء مساحته تساوي الصفر. هناك كثير من هذه الأغطية، ولكنها في أغلبها ثقوب، وربما من الأفضل أن تسمى هذه المسألة شبكة الأنكليس الأم (نوع من السمك). وبالمقابل فقد برهن (من جامعة بريستول بإنكلترا) في عام 1979، أنه لا يوجد غطاء مساحته تساوي الصفر يمكن أن يغطي أي دودة ملساء (وأعني بكلمة أملس هنا المنحني الذي له مماس في كل نقطة منه). وتوحي نتيجة مارستراند أن لغطاء الدودة

حلا معرَّفا تماما، وهو حل ممتع، وربما يكون حل رينولدز هو الحل المنشود. لكن الرياضياتيين الهواة مازالوا يستطيعون التسلية في محاولة إيجاد حلول أفضل. فضلا عن ذلك فإن هناك الكثير من التنويعات لهذه المسألة، وجميعها تقريبا غير محلولة: ما الغطاء الشامل الذي له أصغر محيط؟ ماذا عن مسألة كيس النوم للثعبان، وهو كيس يحتوي بداخله على ثعبان طوله يساوي الواحد ويتلوى في فضاء ثلاثي الأبعاد كيفما يشاء؟ وماذا عن الديدان التي تعيش على سطح كرة؟

ردود القراء
كتب إلينا عدد من القراء للفت انتباهنا إلى خطأ «مفترض» في لعبة الشطرنج على رقعة الگو التي تحدثنا عنها في العدد 2 (1996) ، صفحة 62 من مجلة العلوم . لقد قدمت تلك المقالة لعبة تخمين وانتهت بطرح أحجية، يتحرك فيها الأبيض ويميت الأسود في نقلة واحدة. والإجابة التي أعطيناها كانت O11-j6، وذلك حسب الترميز الذي شرحناه في المقالة. كانت ملاحظة القراء هي أنه كان باستطاعة الأسود أن يتحرك m3-1y، ليصل إلى الوضع المبين بالصورة. ويقول هؤلاء القراء إن «النقلات التي تتركز عند k7 أو j7 أو j8 لا تسمح بهجوم قطري يقضي على الحلقة السوداء، وبذلك لا يموت الأسود.»
هذا صحيح، ولكن هناك نقلات أخرى غير التي يفترضها القراء. فالنقلة التي ترتكز إلى j7 قد تتحرك مكانا واحدا إلى أسفل فتصل إلى j6، متخلصة بذلك من البيدق الأسود عند k5 والبيدق الأبيض عند j5. وبالرغم من تضحيته ببيدق أبيض، فإن هذا اللاعب سيربح لأن هذه النقلة ستقضي على الحلقة السوداء.

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

تعليم الرياضيات اليدويات.. ضرورة أم تسلية وترف:

تؤدي الرياضيات دورًا هامًا بين المواد الدراسية في التعليم وفي الحياة العملية فهي لغة العلوم، ويصعب أو يستحيل أحيانًا دون استخدام أدواتها مثل: المصطلحات والمعادلات والنماذج للتعبير عن كثير من المفاهيم العلمية وفي مجالات شتى، كما تعتبر الرياضيات في دول متقدمة - مثل بريطانيا والولايات المتحدة وروسيا واليابان - عاملًا مؤثرًا في التقدم والتنمية والإبداع، فهي مؤشر على توافر مقومات التقدم التقني.

السؤال هنا، لماذا كل هذا الاهتمام بالرياضيات؟ والجواب لما للرياضيات من وزن وأهمية بين المناهج المدرسية في كل البلاد تقريبًا أولًا، وثانيًا لأنها كانت وما زالت المادة المنهجية السباقة في التأثر والتأثير بما يستجد في ميدان العلم والتكنولوجيا, لذلك تسعى كثير من الدول وخاصة المتقدمة منها إلى تطوير طرق ووسائل تدريس الرياضيات إدراكًا منها لأهمية هذه المادة في تنمية المجتمع والدخول في عالم المنافسة العلمية وتطويع التقنية, فليس غريبًا أن تحظى مناهج الرياضيات بقدر كبير من الاهتمام بين شتى دول العالم، فنجد الحرص الدؤوب على تطويرها جنبًا إلى جنب مع تصاعد وتيرة الأبحاث والدراسات حول أنسب السبل والطرق لتعليمها، فبعد أن ركزت كتابات القرن الماضي بشكل أساسي على طريقتي الاستقراء Induction والاستنتاج Deduction, في تعليم الرياضيات، نجد أن الحديث قد بدأ في مطلع هذا القرن عن البنائية Constructivism، التي قادت إلى اكتشاف أساليب و أنماط جديدة لتعليم الرياضيات وتعلمها.

إن من المسلم به أن للرياضيات دورًا كبيرًا في حياتنا المعاصرة, وفي تطور جميع العلوم, فلو أخذنا مثالًا على أهمية فرع الهندسة في التطور العالمي لوجدنا أن كل التطور العمراني في العالم مبني أساسًا على أمور هندسية، وكل الطرق والمسارات الجوية وعمليات شق الأنفاق والكثير من العمليات العسكرية تقوم على تراكيب واستدلالات هندسية, من هذا وغيره يتضح أهمية وحتمية تدريس الرياضيات بجميع فروعها.

يقول جاردنر إن «العالم يحتاج إلى الرياضيات لأن التعامل مع الواقع الفج ثقيل وعسير... والرياضيات هي الأداة الرئيسية لإسباغ شيء من النظام على هذه الفوضى». لذا لابد من تطوير الرياضيات في التعليم العام لتواكب التطور الذي يعيشه العالم، فقد أصبحت الرياضيات لا غنى عنها لأي مشتغل في أي علم من العلوم.

ورغم أهمية هذا العلم وضرورة الاهتمام به إلا أن الكثير يتهمه بالجفاف والإغراق في الرموز والبعد عن الواقع. ولعل السبب في ذلك أنه أثناء تدريس هذا العلم لا تقدم تطبيقاته في الحياة, ولا يدرس بأسلوب يتيح لتلاميذنا الخبرات المباشرة المحسوسة. ولهذا جاءت الدعوات بضرورة الاهتمام بطرق تدريس الرياضيات, والحث على استخدام الوسائل التعليمية لأنها بمثابة الجسر الموصل بين المجرد والمحسوس.

ويمكن القول إن ما ظهر من اتجاهات حديثة في تعلم الرياضيات وخصوصًا في الدول المتقدمة يوجب علينا إعادة النظر في مناهجنا وطرق تدريسنا وتشخيصنا ومعالجتنا لتعلم الرياضيات في التعليم العام في المملكة العربية السعودية, وهذا يتطلب الإعداد والتخطيط الدقيق على ضوء معطيات الواقع وما نطمح لتحقيقه من خلال خطط وبرامج التعليم المستقبلية.

واليدويات من أهم الوسائل التعليمية التي تساعد في تحقيق هذا الهدف، فمن خلال اليدويات نستطيع أن نقدم للطلبة معظم ما يحتاجونه من خبرات مباشرة ومحسوسة تشكل عندهم اتجاهات إيجابية نحو ما يتعلمونه, ومن خلال هذا البحث سيتضح لنا فائدة مثل هذه اليدويات في تدريس مفهومات رياضية مختلفة.

اليدويات

وهي مجموعة من الوسائل التعليمية تستخدم لشرح الرياضيات، وتقوم على ممارسة الطالب للتطبيقات الرياضية بكلتا يديه بهدف تبسيط وتقريب استيعاب المفاهيم الرياضية, وهذا المشروع بدأ في الولايات المتحدة الأمريكية وقام بنقله إلى العربية مجموعة من الأساتذة المتخصصين في الرياضيات, وسمي مشروع إبداع, وهذا المشروع يحوي مجموعة من الوسائل التعليمية (اليدويات)، ويقوم على استخدام الطالب لهذه الوسائل والأدوات والعمل عليها وممارستها بيديه مع وجود نفس الوسيلة مع المعلم للقيام بعملية التوجيه والشرح، والهدف منه تبسيط النظريات والمفاهيم والمسائل والقواعد الرياضية وتقريبها إلى ذهن الطالب, مما يمكنه من تحقيق تحصيل أفضل في مادة الرياضيات, علمًا بأنه يمكن الآن الاستغناء عن الممارسة اليدوية باستخدام الإنترنت للتعامل مع هذه اليدويات, واليدويات التي يحويها المشروع توجد في حقائب، ويمكن تطبيق بعض هذه اليدويات واستخدامها في جميع المراحل التعليمية.

أهم اليدويات التي يتضمنها المشروع هي

- قطع كوزينير Cuisenaire Rods

- مكعبات دينز Base Ten Block

- المكعبات المتداخلة Linker Cubes

- القطع الهندسية Tangrams

- الميزان الحسابي Number Balance

- قطع النماذج Pettern Blocks

-اللوحة الهندسية Geoboard

-اللوحة الدائرية Geoboard Circular

-معمل الجبر Algebra Tiles

إلى غير ذلك من الاكتشافات التي تضاف دوريًا للمشروع مثل البرمجيات, والجدير بالذكر هنا أن المشروع يمكن التعامل معه عن طريق الإنترنت دون الحاجة للحصول على هذه المكونات, وهذا شرح مبسط لبعض من هذه المكونات:

- قطع كوزينيرCuisenaire Rods

قطع كوزينير تعرف بأنها مجموعة من القطع الصغيرة الملونة، عرض وارتفاع كل واحدة منها 1سم، وطول كل قطعة يساوي أحد الأعداد العشرة الأولى.

- مكعبات دينز Base Ten Block

هي يدوية تتكون من وحدات وأصابع ومربعات ومكعبات كما في الشكل، وتستخدم لتعليم عملية الجمع والطرح والضرب ودراسة النسب المئوية وغير ذلك.

- المكعبات المتداخلة Linker Cubes

هي مجموعة من المكعبات صنعت بأحجام متساوية وبعشرة ألوان وطول ضلع كل مكعب 2سم وعددها 100مكعب.

- معمل الجبر

وتعتمد على تصوير العملية الرياضية أو المشكلة بشكل لعبة

أو نموذج يتعامل معه باليدين للوصول إلى التجريد.

- قطع النماذج Pettern Blocks

هي عبارة عن ستة قطع هندسية محددة وهي:

سداسي منتظم, شبه منحرف متطابق الساقين, متوازي أضلاع, مثلث متطابق الأضلاع, مربع, معين.

ويمكن من خلال تركيبها بأشكال مختلفة دراسة العديد من المفاهيم الرياضية المجردة وجعلها محسوسة، وفي متناول التفكير مهما كان سن المتعلم.

وهذه القطع مصممة بطريقة خاصة حيث إن جميع أضلاع هذه القطع الست متطابقة ما عدا شبه المنحرف، حيث إن قاعدته الكبرى تساوي ضعف أضلاع باقي القطع.

وبنظرة سريعة لهذه القطع يتبين أن بين مساحاتها علاقة واضحة.

فإن القطع التالية تمثل:

ويتضح ذلك بالنظر إلى الأشكال التالية:

لكن السؤال الذي يطرح نفسه هو:

ما علاقة مساحة بقية الأشكال, بمساحات القطع الأخرى؟

مثال ذلك: ما علاقة مساحة المربع بمساحة المعين؟

والجواب هو يمكن معرفة هذه العلاقة هندسيًا، عندما نتأمل الشكل التالي:
يتبين لنا أن:

إذًا:أي أنً: مساحة المربع تساوي ضعف مساحة المعين (أو نقول مساحة المعين نصف مساحة المربع).

ومن الممكن معرفة زوايا المعين من خلال الرسم التالي:

حيث إن:زاوية المعين + زاوية المثلث = زاوية المربع القائمة.

زاوية المعين + 60 = 90

زاوية المعين = 30

وبالتالي فإن زاويته الأخرى = 150.

النظريات التي يعتمد عليها

التعلم باليدويات

- نظرية بياجية

تمثل نظرية بياجيه أحد أهم نظريات علم النفس الحديث, وأصبحت تشكل مدرسة علمية متميزة هي مدرسة علم النفس الإدراكي أو التكويني, وتوصف نظرية بياجيه بأنها انقلاب على أفكار المدرسة السلوكية المنتشرة في الولايات المتحدة الأمريكية والمسيطرة على علم النفس في تلك الحقبة, والتي تركز على متغيرات السلوك القابلة للملاحظة وهي المثير والاستجابة، وتقوم نظرياتها على دراسة العلاقة بينهما, ووسط هذا الازدهار لعلم النفس خرج بياجيه بنظريته وأفكاره المختلفة تمامًا عن النظريات والأفكار الشائعة, واستخدم مفاهيم ومنهجًا مختلفًا، ونادى بأفكار وآراء جديدة، وقد وضحت أبحاث بياجية مراحل نمو التفكير عند الفرد أو ما يسمى بالنمو العقلي.

وبياجيه يفسر النمو على أساس عمليتين هما: الاستيعاب التي تعني تكوين نموذج للأشياء في الذهن، والعملية الثانية هي التكيف التي تعني تعديل النموذج السابق ومواءمته وفقًا للخبرات الجديدة.

وبياجيه يبين أن الطفل لا يعرف مفهوم العدد قبل أن يلمس ويتعامل حسيًا مع الترتيب والتناظر الأحادي الذي يفسر بمثال عند وضع عدد من الكاسات في صف, ثم يطلب منه وضع كرات بعدد الكاسات نجد طفل الرابعة أو الخامسة يضع إزاءها عددًا من الكرات لا يساوي عدد الكاسات, ولكن يأخذ نفس طول صف الكاسات، ويضيف أنه يمكن للطالب إدراك الهندسة المستوية قبل إدراك الهندسة الإقليدية لسهولة استيعابها، أما بالنسبة للتشابه فيرى بياجيه أن الطفل في المرحلة الأولى من النمو لا يعني له شيئًا، ولكن في المرحلة الثانية فإن فكرة التشابه تبدأ في الظهور، فيستطيع التفريق بين المربع والمستطيل، وإذا طلب منه رسم مستطيل مشابه لآخر فإنه يرسمه ولكن مع مبالغة في طول الأضلاع، وفي المرحلة الثالثة فانه يلاحظ أن الطالب يأخذ في الحسبان عاملًا واحدًا عند دراسة التشابه، وفي المرحلة الرابعة يستطيع ترتيب العلاقات في أنظمة ثابتة، ويستطيع إدراك التشابه من عدة نواح.

- نظرية دينز في تعلم الرياضيات:

الرياضيات تعد في نظرية دينز دراسة للبنيات وتصنيفها وتوضيح العلاقات بينها وتنظيمها، ويرى أنه يمكن فهم المفاهيم والمبادئ الرياضية من خلال العديد من الأمثلة الحية والمحسوسة، ويعني المفهوم عند دينز البناء الرياضي، ويتم تعلمه في ست مراحل متعاقبة وهي:

- البحث عن الخواص المشتركة، فهنا لا يستطيع الطالب اكتشاف البنية الرياضية التي تشترك فيها كل مكونات المفهوم إلا بعد إلمامه بالخواص المشتركة للأمثلة المعطاة على ذلك المفهوم. ويقترح دينز أن يعطى الطالب أمثلة عديدة عن طريق توضيح أن كل مثال يمكن أن يترجم إلى مثال آخر دون تغيير الخواص المجردة التي تشترك فيها الأمثلة، مثل مثال إيجاد المسافة التي تقطعها السيارة يتغير إلى المسافة التي يقطعها القطار وهكذا.

- التمثيل وفيه يحتاج الطالب إلى مثال واحد للمفهوم يجمع كل الخصائص المشتركة التي تعلمها في المرحلة السابقة.

- الترميز وفيه يحتاج الطالب في هذه المرحلة إلى تكوين الرموز اللفظية والرياضية المناسبة لوصف ما فهمه من المفهوم، مثل وضع قانون نظرية فيثاغورس على شكل «س 2 + ص 2 = ع 2».

- التشكل وفيه يتعلم الطالب ترتيب خصائص المفهوم ومعرفة نتائجه ويقوم الطالب في هذه المرحلة بفحص نتائج المفهوم واستخدامها في حل المسائل الرياضية البحتة والتطبيقية.

ويؤكد دينز أهمية الألعاب في تعلم المفاهيم الرياضية، ويقسم الألعاب إلى ثلاثة أنواع وهي:

- الألعاب التمهيدية وهي التي يقوم بها الطالب من أجل المتعة دون توجيه من المعلم.

- الألعاب المنظمة وهي التي تستخدم المرحلة الوسطى من تعلم المفهوم, حيث يقوم الطلاب بفرز العناصر المكونة للمفهوم, وهي تصمم لخدمة أهداف تعليمية محددة، ويمكن أن يصممها المعلم بنفسه أو يستعين بالألعاب التعليمية المنتجة من قبل الشركات المتخصصة.

- الألعاب التدريبية وفيها يتدرب الطلاب على حل المسائل وفي مراجعة المفاهيم وتطبيقها.

- نظرية أوزوبل في التعلم اللفظي (أو نموذج أوزوبل التعلمي) الفكرة الرئيسة في نظريته هي مفهوم التعلم ذي المعنى، والذي يتحقق عندما ترتبط المعلومات الجديدة بوعي وإدراك من المتعلم بالمفاهيم والمعرفة الموجودة لديه قبلًا وذلك بناء على مبدأ أوزوبل الموحد للتعليم.

ففي هذا الإطار يعتقد أوزوبل أن إدراك المفاهيم والعلاقات المرتبطة بالمادة المتعلمة من قبل المتعلم والمتصلة ببنيته المعرفية من أكثر العوامل أهمية وتأثيرًا في عملية التعلم كما أنه يجعل التعلم ذا معنى.

وأوزوبل يفترض في نظرية التعلم اللفظي ذي المعنى أنه ينبغي أن يتم التعلم خلال عملية الاستقبال، فالمعلم يقدم المعلومة بصورة منظمة ومرتبة بتتابع وتناسق، ويفترض أن الطالب يتعلم عن طريق تنظيم المعلومات, وأن هذا التنظيم يجب أن يكون مترابطًا بشكل طبيعي، ولا يمكن تغيره بتغير الظروف, وأوزوبل يميز بين نوعين من التعلم هما:

- التعلم بالتلقي والتعلم بالاكتشاف.

- التعلم بالاستظهار والتعلم ذو المعنى.

- نظرية برونر

يرى برونر أن لكل فرد طاقة داخلية للتعلم، وأن علينا تجهيز وإثراء البيئة المحيطة بهذا المتعلم بكافة المواد والأشياء التي تعينه على استثمار هذه الطاقة الداخلية في تعلمه والذي يمكن أن يكون على شكل خبرات حسية مباشرة يتعر?'ض لها المتعلم خاصة في مراحل تعلمه الأولى. و يرك?'ز برونر على تفاعل المتعلم مع الأشياء الموجودة من حوله في عملية تعلمه, فهو بهذا يركز بشكل غير مباشر على الطريقة الاستكشافية للتعلم, وهي ما تعني أن يتوصل المتعلم بنفسه للمعارف والمعلومات التي يحتاجها بمساعدة وتوجيه المعلم, ولعل التعلم بهذه الطريقة – طريقة الاستكشاف - هي من أبرز الأفكار الموجودة لديه, خاصة أنه لا يركز على النتيجة المكتشفة, بل يهتم بشكل كبير بالعمليات العقلية والأفعال التي يقوم بها المتعلم والتي أد?'ت به إلى هذه النتيجة، وهذا ما يزيد الأمر روعة وجمالًا.

وقد نادى برونر بضرورة وجود نظرية في مجال التعليم تتكامل مع نظريات التعلم، وتعمل على رفع كفاءة العملية التعليمية كمًا وكيفًا من خلال تتبع الأسس والخطوات اللازمة لتقديم المادة التعليمية للمتعلمين بصورة مناسبة.

المبادئ الأساسية

لنظرية (برونر) التعليمية:

أولًا: الميل للتعليم: يرى برونر أن الموقف التعليمي يعد موقفًا استقصائيًا, يقوم فيه المتعلم بالبحث عن حلول لمشكلات يتضمنها ذلك الموقف, ومن ثم ينبغي تفاعل المتعلم مع عناصر الموقف المشكل مما يستوجب توافر قدر كاف من الميل لديه, ويتطلب ذلك أمرين:

- أن تؤدي التربية البيئية قبل المدرسة إلى غرس هذا الميل, ومما يساعد في ذلك النمط الثقافي للبيئية والدافعية الشخصية للطفل.

- أن يساعد المعلم على إثارة الميل لدى المتعلم من خلال المواقف التدريسية.

ثانيًا: بناء المعرفة: لكي تبنى المعرفة في ذهن المتعلم بطريقة صحيحة ينبغي أن تنظم المادة الدراسية بشكل يسمح للمتعلم بتمثلها, ومن ثم يتمكن من فهمها واستيعابها, ويتوافر للمعلم في رأي (برونر) ثلاثة سبل لتحقيق ذلك:

1- طريقة العرض: وهو الأسلوب الذي يتبعه المعلم في نقل المعرفة وتوصيلها إلى تلاميذه، ويميز (برونر) بين ثلاثة أساليب لعرض المعرفة وفق خصائص النمو العقلي للمتعلمين:

- الأسلوب العملي الواقعي: يناسب طفل ما قبل المدرسة, وتعرض فيه المعلومات عن طريق الأفعال والأشياء والنشاط الحسي.

- الأسلوب التصويري: يرى برونر أن الأطفال من سن الثالثة حتى الثامنة يستطيعون تكوين صور ذهنية للأشياء والأفعال, فيصبحون أكثر قدرة على التعلم بالصورة كبديل للخبرات المباشرة.

- الأسلوب الرمزي: ويتم العرض من خلال الكلمات أو الأرقام بدلا من استخدام الصور.

2- الاقتصاد في تقديم المعلومات، ويقصد برونر الاقتصاد في مقدار المعلومات التي ينبغي تعليمها، وذلك لأن التعليم من وجهة نظره اكتشافيًا يحدث من خلال حل المشكلات, الأمر الذي يتطلب من المعلمين مراعاة عامل الاقتصاد في عرضهم المادة التعليمية.

3- فعالية العرض: إن العرض الفعال هو الذي يبسط المعرفة العلمية أمام المتعلمين, فكلما كانت المادة مبسطة في عرضها كانت أكثر تأثيرًا في المتعلمين وأيسر استيعابًا.

ثالثًا: التسلسل في عرض الخبرات: تعد بنية المعرفة المحور الرئيسي الذي تدور حوله نظرية (برونر)، لذا فأنه يرى أن التسلسل في عرض المعلومات وإعادة عرضها للمتعلمين ينبغي أن تؤدي بهم إلى فهم بنية المادة الدراسية الأمر الذي يقودهم إلى التمكن من تحويل المعرفة إلى صورة جديدة, كما أن التسلسل في عرض الخبرات يكسب المتعلم القدرة على نقل المادة المتعلمة إلى مواقف جديدة.

رابعًا: التعزيــــــز: يتوقف التعلم الجيد من وجهة (برونر) على معرفة المتعلم نتائج نشاطه التعليمي, وما يقدم له من تعزيزات, وزمان ومكان تقديمها، وبصفة عامة فإن نظرية (برونر) قدمت لواضعي المناهج الدراسية والمعلمين خدمة جليلة حين قدمت تصورًا لكيفية تكون البنيات المعرفية لدى المتعلمين من خلال إدراكهم خصائص الأشياء, وأوجه الشبه والاختلاف بينها, ثم إدراك الأساس التصنيفي لها, وتبويبها, وترميزها فيما بعد.

- التعلم بالاكتشاف:

ويقوم هذا النوع من التعلم على إدراك العلاقات بين عناصر الموضوع الرياضي، والخروج بقوانين لمجموعة الأمثلة والحقائق التي يقدمها المدرس، فيتحدد بذلك دور المدرس في تقديم المعلومات اللازمة التي تمكن التلميذ من القيام بعملية اكتشاف القوانين والقواعد، وهو عملية تفكير تتطلب من الفرد إعادة تنظيم المعلومات المخزونة لديه وتكييفها بشكل يمكنه من رؤية علاقات جديدة لم تكن معروفة لديه من قبل.

وفي النهاية نجد اليدويات تحقق العديد من الأمور في التعليم من أهمها:

-تضع ما يُتعلم في مجال اهتمام الطالب.

- تتم عملية التعلم بطريقة مشوقة ومسلية.

- تترسخ المفاهيم الرياضية في ذهن الطالب بصورة قوية.

- تحقيق التوازن في شخصية التلميذ وتنمي الذاكرة والتفكير والإدراك.

- تعلم احترام القوانين والأنظمة وتغرس في نفوس الطلاب العمل التعاوني الجماعي.

- تعزيز الثقة بالنفس من خلال إشراك طلاب الصف في يدوية واحدة.

- إعطاء فرصة للطلاب للتعبير عن النفس والأفكار والخطط.

- تجعل من المدرسة مكانًا محببًا للطلاب.

وغير ذلك الكثير من الفوائد التي نجنيها من استخدام اليدويات في تعليم الرياضيات.

المراجع

- سحاب، سالم أحمد وآخرون, «دليل إبداع لتدريس الرياضيات باليدويات للصفين الخامس والسادس الابتدائيين», (1418هـ), دار البلاد للطباعة والنشر, جدة.

- الخليلي, خليل يوسف, عبداللطيف حسين حيدر, محمد جمال الدين يونس, تدريس العلوم في مراحل التعليم العام, دار القلم - 1996م، الإمارات.

- زيتون, عايش «أساليب تدريس العلوم». عم?'ان. دار الشروق. ط1. 1994م.

- الأمين، إسماعيل محمد الأمين محمد (1416هـ)، «نموذج مقترح لتطوير تدريس مادة الرياضيات بالصف الأول الإعدادي باستخدام أسلوب المنظم المتقدم», مجلة رسالة التربية, دائرة البحوث التربوية بالمديرية العامة للتنمية التربوية, وزارة التربية والتعليم, مسقط, سلطنة عمان, عدد ربيع الثاني 1416هـ.

- مرعي, توفيق أحمد, محمد محمود الحيلة, تفريد التعليم دار الفكر 1998م – الأردن.

- بل, فردريك, طرق تدريس الرياضيات, الجزء الثاني, ترجمة محمد أمين المفتي وممدوح سليمان, الدار العربية للنشر والتوزيع, القاهرة, 1986م. قطامي، يوسف, نايفة قطامي, ( 1998م ) «نماذج التدريس الصفي», عمان, دار الشروق.

- حمام، فادية (1423هـ) علم النفس التربوي في ضوء الإسلام، الرياض، دار الزهراء للنشر والتوزيع، ط1.

- موقع الدكتور عباس غندوره,

www.aghandoura.com .
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
كثيرا ما يسأل مدرس الرياضيات داخل الفصل لماذا ندرس الرياضيات وحرصا على وقت الحصة ما يؤجل الإجابة وارت أن اضعها بين ايديكم لنوضح الدرب وننير الطريق أمام أبنائنا
وربما تكون عون لنا في دفتر التحضير

1- إتاحة الفرصة للتلاميذ لممارسة طرق التفكير السليمة كالتفكير الاستقرائي والاستنباطي والتأملي .
2- إكساب التلاميذ مهارات في استخدام أسلوب حل المشكلات .
3- التأكيد على أهمية الرياضيات في حياتنا العامة ، بمساعدة التلميذ على التعرف على أثر الرياضيات في التطور الحضاري .
4- إكساب التلاميذ المهارات اللازمة لاستيعاب ما يدرسه والكشف عن علاقات جديدة .
5- مساعدة التلميذ على تكوين ميول واتجاهات سليمة نحو الرياضيات وعلى تذوقها .
6- مساعدة التلميذ على الاعتماد على نفسه في تحصيل الرياضيات .
7- تنمية بعض العادات السليمة مثل الدقة والنظام والتعاون والاحترام المتبادل والنقد البناء .
8- تنمية المهارات الذهنية والابتكارات العلمية .
9- التأكيد على أن الرياضيات هي أم العلوم .
10- إبراز دور وإسهامات العرب المسلمين في نشأة الرياضيات .
لاتنسونا من خالص دعائكم

الخميس، 24 ديسمبر 2009

مقدمه عن الزمره

في الرياضيات ، الزمرة group هي مجموعة مزودة بعملية ثنائية و تحقق مجموعة من الشروط أو البدبهيات التي ستذكر لاحقا. مجموعة الأعداد الصحيحة تشكل زمرة بالنسبة لعمية الجمع و تعتبر مثالا للزمر . تدرس الزمر في فرع من الرياضيات يدعى نظرية الزمر.
نظرية الزمر نشأت على يد إيفاريست جالوا في عام 1830 ، و هي تهتم أساسا بمشكلة إيجاد متى يكون كثير حدود أو معادلة جبرية قابلا للحل soluble أي له حلولا أو جذور . قبل هذه النظرية كانت الزمر تدرس أساسا ضمن إطار دراسة طرق الترتيب Permutation .

تعريف
الزمرة Group أو المجموعة الوظيفية في الرياضيات هي عبارة عن مجموعة مزودة بعملية ثنائية يرمز لها بـ 1 بحيث يربط كل ثنائية مرتبة من عناصر عنصر من بحيث يحقق البديهيات Axioms التالية:

الإغلاق:
التجميع:
العنصر الحيادي (identity):
العنصر النظير أو المتمم (inverse):
ندعو الزمرة بالأبيلية (abelian group) نسبة للرياضي أبيل (Abel)، إن حققت الشرط الإضافي التالي:

5. التبديل:
في حال كانت المجموعة منتهية (عدد منتهٍ من العناصر) نقول إنّ الزمرة منتهية (finite group) ويكون ترتيب الزمرة (order) مساوياً لعدد عناصر المجموعة.
تدرس هذه الكائنات الرياضية في نطاق نظرية نطلق عليها اسم نظرية الزمر group theory .

في الرياضيات ، نصف الزمرة semigroup هي عبارة عن بنية جبرية مؤلفة من مجموعة مغلقة بالنسبة لعملية ثنائية تجميعية. بكلام آخر تكون نصف الزمرة ماعما تجميعية . اشتق مصطلح نصف الزمرة من المصطلح الأساسي الزمرة . غالبا ما تمثل العملية في نصف الزمرة برمز الجداء أي ، أو ببساطة xy وهي تعطي نتيجة تطبيق عملية نصف الزمرة الثنائية على الزوج المرتب : (x, y). هناك خلاف فيما إذا كانت المجموعة الخالية يمكن اعتبارها نصف زمرة أو لا .
بدأت دراسة أنصاف الزمر في أوائل القرن العشرين لكن أهميتها بدأت في منتصف الخمسينات حين أصبحت نظرية انصاف الزمر المنتهية ذات أهمية في المعلوماتية النظرية بسبب الارتباط الطبيعي بين أنصاف الزمر المنتهية وآلات الحالة المنتهية

نظرية الزمر Group Theory هو فرع الرياضيات الذي يهتم بدراسة أنواع الزمر Groups و خواصها . الزمرة تعني باللغة العربية جماعة مشتركة في صفة أو عدة صفات مختلفة ومنها أيضا سورة الزمر في القران الكريم اما معناها الرياضي فتهتم بالمجموعات العددية المختلفة مثل الاعداد الطبيعية والنسبية والكسرية ...الخ ولكي يمكننا القول بان مجموعة ما زمرة يجب تحقق عدة شروط.
ان مجموعة ما من تسمى زمرة، مع وجود عملية رياضياتية خاصة (.) تدعىhttp://mail.live.com/default.aspx?wa=wsignin1.0 "تكوين الزمرة" (Group Composition)، اذا تحقق ما ياتي:

الإغلاق (Closure): وهو ان نتيجة تطبيق العملية على عناصر من الزمرة تنتمي للزمرة نفسها.
التجميع (Associativity)
وجود عنصر محايد (Identity)
وجود عنصر عكسي متمم (inverse)
أما الشرط الخامس وهو الابدال و يتحقق اذا كان لكل . إن الزمرة التي تحقق الشروط الأربعة في الأعلى إضافة للخامس تدعى زمرة إبدالية (Commutative) أو زمرة أبيلية (Abelian).

وقد تساءل الرياضيون منذ القرن 19 عن إمكانية تصنيف الزمر البسيطة المنتهية. ولم يصل هؤلاء إلى الهدف المنشود إلا في مطلع الثمانينيات من القرن العشرين، حيث تطلب ذلك كتابة آلاف الصفحات. وظهرت في هذا التصنيف مجموعة من الزمر، سميت الزمر المتناثرة sporadic، ... ومنها زمرة سميت "الوحش" (وسموها آخرون الزمرة العملاقة) بسبب كبر رتبتها ، وهي :
71×59 ×47 ×41 ×31× 29× 23× 19 ×17 ×133× 112 ×76× 59 ×320 ×246
وهذا العدد يساوي
8080174247945128758864599049617107577005754368000000000

وقد عثر عليها عام 1982 الرياضي روبرت غريس Griess. ورغم ذلك توصف الزمرة بأنها بسيطة ومنتهية ! والملاحظ أن تصنيف الزمر المنتهية (بسيطة وغير بسيطة) جدّ معقدة. والرياضيون عازمون خلال الألفية الثالثة على إيجاد عدد الزمر التي لا تتجاوز رتبها 2000 ... وقد وجدوا منها الآن أزيد من 50 مليار زمرة !

تلك هي الأسباب التي جعلتنا في هذا الدرس نهتم بالزمر المنتهية أكثر من غيرها، لنقدم للقارئ معلومات قد يرجع إليها ذات يوم.

المتتاليات الدقيقة

دعنا نشير بعجالة إلى ما يسمى بالمتتاليات الدقيقة، رغم أنها ليست موضوع هذا الدرس، لعل القارئ يصادف مثل هذه المتتاليات لدى تناوله مواضيع جبرية... وقد فاتتنا فرصة الإشارة إليها في القسم الأول عند الحديث عن التماثلات.

تعريف

مثال
إذا كانت H زمرة جزئية منG فإن المتتالية

دقيقة علما أن H/G هي زمرة القسمة على H. لاحظ أن I تباين وأنP غامر.

الزمر ذات الرتب الصغيرة

الزمرة المجردة هي أية زمرة لا تميزها سوى خواصها المجردة (تجميع، عنصر حيادي، نظير). نذكر على سبيل المثال أن هناك زمرتين مجردتين فقط رتبتاهما 4 يمكن تعريفهما كالتالي :

1* نضع ونعرف العملية على G التي تجعل منها زمرة من خلال الجدول التالي :

نجد في الكتابات الأجنبية اسما لهذه الزمرة وهو Viergruppe (من الألمانية Vier التي تعني 4 و gruppe بمعنى زمرة).

2* الزمرة الدوارة . نضع ونعرف العملية على G التي تجعل منه زمرة من خلال الرسم التالي حيث 1 هو العنصر الحيادي :

يمكن أيضا الإشارة إلى الزمرة المؤلفة من ثمانية عناصر المسماة الزمرة الرباعية The quaternion group، وهي واحدة من الزمرتين غير التبديليتين من بين الزمر الخمس ذات الرتبة 5.

إليك جدولا يبيّن عدد الزمر التبديلية وغير التبديلية وكذا عددها الإجمالي (حسب رتبها) من إلى . تجد في هذا الدرس الجدول الذي يبيّن عدد الزمر التبديلية وعددها الإجمالي، حسب رتبها، من 1 إلى400 :

رتبة زمرة

عدد الزمر التبديلية

عدد الزمر غير التبديلية
العدد الإجمالي للزمر

1 1 0 1
2 1 0 1
3 1 0 1
4 2 0 2
5 1 0 1
6 1 1 2
7 1 0 1
8 3 2 5
9 2 0 2
10 1 0 1
12 2 3 5
13 1 0 1
14 1 1 2
15 1 0 1
16 5 9 14
17 1 0 1
18 2 3 5
19 1 0 1
20 2 3 5
21 1 1 2
22 1 1 2
23 1 0 1
24 3 12 15
25 2 0 2
26 1 1 2
27 3 2 5
28 2 2 4
29 1 0 1
30 1 3 4
31 1 0 1

تمرين 1
ليكن H جزءا منتهيا من زمرة (.,G). نفرض أن مستقر بالنسبة لقانون الزمرة.
1) أثبت أن العنصر الحيادي 1 ينتمي إلىH .
2) أثبت أن H زمرة جزئية منG .
3) أوجد مثالا مضادا يبيّن أن قد لا يكون زمرة جزئية لو كان غير منته.

الحل 1

تمرين 2
لتكن(.,G) زمرة دوارة من الرتبة n، مولّدة عن .
1) لنفرض أن عنصر مولد لـ G . تأكد من أن يكتب على الشكل حيث أولي مع n.
2) كيف تكتب العناصر المولدة في حالة n =12 ؟
3) أدرس الحالة التي يكون فيهاn أوليا.
4) يسمى العدد الممثل لعدد العناصر المولدة لزمرة دوارة من الرتبة n مؤشر أولر Euler. احسب عندما يكون p أوليا.

الحل 2

زمر سيلو

تقول نظرية لاغرانج Lagrange أن رتبة عنصر في زمرة منتهية تقسم رتبة الزمرة. يمكن أن نصيغ نظرية لاغرانج أيضا كما يلي : إذا كانت m رتبة زمرة جزئية (من زمرة G معطاة رتبتها n ) مولدة عن عنصر فإن m يقسم n.
كيف نـثبت ذلك؟ لتكن H زمرة جزئية رتبتها m من زمرة رتبتهاn . ماذا يمكن القول حول مجموعة العناصر المعرفة بـ من أجل العناصر المنتمية إلى G ؟ إذا رمزنا بـ A للمجموعة فإننا نلاحظ بأنها تتشكل من أصناف تكافؤ وأن عدد عناصر كل صنف تكافؤ يساوي m لأن التطبيق

تقابل (تأكد من ذلك). وكذلك الأمر بالنسبة للتطبيق

ثم إن العناصر تشكل تجزئة لـ G. أكمل البرهان.

هناك من ينص على نظرية لاغرانج على النحو التالي : لتكن G زمرة منتهية وH زمرة جزئية منها. إن رتبة H تقسم رتبة G.

تمرين 3
لتكن (.,G) زمرة منتهية رتبتهاn وa عنصرا كيفيا منها، نرمز لعنصرها الحيادي بـ 1. أثبت أن .

الحل 3

نظرية كوشي

تعريف (زمر سيلو)

النظرية الأولى لسيلو

ملاحظة
لاحظ أن هذه النظرية تؤدي إلى نظرية كوشي. لنوضح ذلك :
ليكن عددا أوليا يقسم الرتبة n لزمرة منتهية G. إذن يوجد عددان طبيعيان m و يحققان العلاقة مع القيد p لا يقسم m (ذلك أنه إذا حدث العكس فما علينا سوى تغيير الأس ). ومن ثم تتحقق شروط نظرية سيلو. إذنG تملك زمرة p- سيلوية، أي زمرة رتبتها من الشكل
لكنp عدد أولي يقسم تلك الرتبة. وحسب نظرية لاغرانج فإنه توجد زمرة جزئية H رتبتها القاسم p. ومن ثم يوجد عنصر a منH رتبته p. لماذا؟ نعتبر عنصرا a منH يختلف عن العنصر الحيادي. ما هي رتبته؟ هل يمكن أن تكون أصغر تماما من p ؟ لا ! لأن p أولي ومنH يختلف عن العنصر الحيادي. هل يمكن أن تكون رتبة a أكبر تماما منp ؟ لا ! لأنه لا يمكن أن تتجاوز رتبة H.

تعريف

تمرين 4

إذا كانت زمرتان جزئيتان من زمرة (.,G) مترافقتين فإنهما متقابلان.
(ومن ثم فلهما نفس الرتبة في الحالة التي تكون فيها الزمرة (.,G) منتهية.

الحل 4

النظرية الثانية لسيلو

تمرين 5

أثبت أن زمرة جزئية p H - سيلوية من زمرة G تكون مميزة إذا وفقط إن كانت H الزمرة الـ p - سيلوية الوحيدة.

الحل 5

النظرية الثالثة لسيلو

تطبيق

يمكن استخدام نظريات سيلو لإثبات أن كل زمرة رتبتها تساوي 63 لا يمكن أن تكون بسيطة. لنر ذلك :
نذكر أننا نقول عن زمرة إنها بسيطة إن كانت الزمر الجزئية المميزة الوحيدة هي الزمرة نفسها وزمرة العنصر الحيادي. نعتبر فيما سبق p=7. كم يبلغ عدد الزمر الجزئية 7-سيلوية؟ إنه عدد يقسم ويكتب على الشكل . العدد الوحيد الذي يحقق ذلك هو . إذ هناك زمرة 7- سيلوية واحدة. وحسب التمرين السابق فهذا يستلزم أن هذه الزمرة مميزة. ومن ثم فالزمرة التي رتبتها 63 ليست بسيطة.

تمرين 6

لتكن G زمرة منتهية رتبتهاn وكان n يحقق العلاقة حيث p عدد أولي لا يقسم m. وليكن عدد الزمر الـ p- سيلوية.
أثبت أن أولي مع p .

مسائل بورنسايد

كان الرياضي الإيرلندي وليم سنو بورنسايد
(1852-1927)
أستاذا بالكلية البحرية في

Burnside غرينويتش Greenwich. كما شغل منصب نيابة رئاسة الجمعية الرياضياتية اللندنية. وقد قدم إسهاما معتبرا في نظرية الزمر المنتهية. لنشر إلى بعض آثاره :

مسألة بورنسايد
نذكر قبل ذلك بالتعريفين التاليين الواردين في القسم الأول :

تعريف

ملاحظة
يحدث في زمرة (.,G) أن تكون بعض عناصرها منتهية الرتبة وبعضها الآخر غير منتهي الرتبة. نقول عن هذه الزمرة إنها مختلطة.

في عام 1902 أدخل بورنسايد مفهوما جديدا سماه "النقطة غير المعينة" في نظرية الزمر. كما طرح مسألة سميت "مسألة بورنسايد" تقول : هل كل زمرة منتهية الأس ومولدة بجملة منتهية زمرة منتهية؟ وقد أجاب عن هذا السؤال "بنعم" بورنسايد ذاته من أجل أس يساوي 2 أو 3. كما كان الجواب بنعم من أجل الأسين 4 و 6.
مسألة بورنسايد المقتصرة : ليكن وn عددين طبيعيين. هل يوجد عدد منته من الزمر المنتهية رتبتها وأسها n ؟

لقد حلت هذه المسألة وكان الجواب عنها بنعم عام 1989، ونال صاحب الإجابة إفيم زلمانوف Zelmanov ميدالية فيلدز عام 1994. ولازال هذا النمط من المسائل يحظى باهتمام الباحثين إلى اليوم.

مخمنة بورنسايد : تقول مخمنة بورنسايد التي أدلى بها عام 1902: كل زمرة بسيطة ومنتهية وتبديلية زمرة رتبتها عدد زوجي. وقد أثبت هذه المخمنة بعد ستين سنة من قبل الأمريكي فايت Feit عام 1963 والإنكليزي تومسون Thomson. ومن المعلوم أن البرهان على هذه النتيجة كان من أطول البراهين (إن لم تكن أطولها) حيث جاءت في أزيد من 300 صفحة.

أما الرياضي الروسي بيتر
(1901-1975)
فأجاب بالنفي على هذا السؤال عام 1968

نوفيكوف Novikov

عندما يكون الأس فرديا أكبر من 4381.

نلاحظ أن بيتر نوفيكوف هو والد سرجي نوفيكوف الذي فاز بميدالية فيلدز عام 1970.
هناك منحنى يحمل اسم بورنسايد، معادلته من الشكل ، ورسمه مبيّن أدناه :

تصنيف الزمر المنتهية والبسيطة

لقد تم تصنيف الزمر المنتهية والبسيطة عام 1982 من قبل جون هورتن كونوي Conway و دنيال غورنشتين Gorenstein باستخدام الحواسيب، وهذا بعد مرور أزيد من قرن عن اكتشاف أول زمرة "متناثرة" (ترجمة لمصطلح sporadic الذي أتى به بورنسايد). وقد صنف الرياضيون الزمر المنتهية البسيطة إلى 4 أصناف :

1) الزمرة الدوارة التي لها رتب أولية.
2) صنف من الزمر تسمى زمر شوفاليي Chevalley. وهي مجموعة غير منتهية وعدودية من الزمر.
3) صنف الزمر المسماة الزمر المتناوبة : إن كان n عددا طبيعيا فإن الزمرة المتناوبة (التي يرمز إليها عموما بـ ) هي الزمرة الجزئية من المؤلفة من التبديلات الزوجية. نذكّر أننا نقول عن تبديلة من إنها زوجية إن كان توقيعها المعرف بـ

يساوي 1 . تستخدم هذه الزمر في البحث عن الأمثلة المضادة في النظرية الزمر.
4) 26 زمرة ... تسمى الزمر المتناثرة.

إليك الجدول التالي الذي يوضّح رتبة كل زمرة من الزمر المتناثرة، وكذا تفكيكات رتبها إلى عوامل أولية :

تفكيك الرتبة إلي عوامل أولية

الرتبة

رقم الزمرة
24-32-5-11 7920 1
26-33-5-11 95040 2
23-3-5-7-11-19 175560 3
27-32-5-7-11 443520 4
27-33-52-7 604800 5
27-32-7-5-11-23 10200960 6
29-32-53-7-11 44352000 7
27-35-5-17-19 50232960 8
210-33-5-7-11-23 244823040 9
27-36-53-7-11 898128000 10
210-33-52-73-17 4030387200 11
214-33-53-7-11-13-29 145926144000 12
213--37-52-7-11-13 448345497600 13
29-34-5-73-11-19-31 460815505920 14
210-37-53-7-11-23 495766656000 15
218-36-53-7-11-23 42305421312000 16
217-39-52-7-11-13 64561751654400 17
214-36-56-7-11-19 273030912000000 18
28-37-56-7-11-31-37-67 51765179004000000 19
215-310-53-72-13-19-31 90745943887872000 20
218-313-52-7-11-13-17-23 4089470473293004800 21
221-39-54-72-11-13-23 4157776806543360000 22
221-33-5-7-113-23-29-31-37-43 86775571046077562880 23
221-316-52-73-11-13-17-23-29 1255205709190661721292800 24
241-313-56-72-11-13-17-19-23-31-47 4154781481226426191177580544000000 25
رتبة الزمرة المسماة "الوحش" أو "الزمرة العملاقة :
808017424794512875886459904961710757005754368000000000
تفكيك رتبة الزمرة العملاقة إلى عوامل أولية :

71-59-47-41-31-29-23-19-17-133-112-76-59-320-246

26

لمراجع:

التصنيفان: جبر تجريدي | بنى جبرية

ISBN:978-981-270-809-0; World Scientific 2007; Willi-Hans Steeb; Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations And Computer Algebra
Group Theory, W. R. Scott, Dover Publications, ISBN 0-486-65377-3
Groups, C. R. Jordan and D. A. Jordan, Newnes (Elsevier), ISBN 0-340-61045-X